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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.1 - Ex. 6

Determine se a função é uma transformação linear. Justifique sua resposta.

  • T : M 22 → R , sendo

    • a   T a b c d = 3 a - 4 b + c - d

    b     T a b c d = a 2 + b 2  

    Passo 1

    Desejamos verificar se a transformação dada é uma transformação linear, mas aí fica o questionamento: o que é uma transformação linear?

    Pois bem, uma transformação linear é uma transformação que deve atender a dois requisitos que são:

  • Multiplicação por um escalar: T k u = k ⋅ T ( u ) , onde k é um escalar.
  • Linearidade: T u + v = T u + T v

Passo 1

Sendo assim, vamos pegar a primeira transformação para avaliarmos sobre a sua linearidade. Pois bem, vamos tomar, antes de tudo, os seguintes vetores

u → = a b c d     e   v → = e f g h

Pronto, agora podemos avaliar de forma coerente nossas duas condições e começando da primeira teremos

T k u = T k a k b k c k d = 3 k a - 4 k b + k c - k d

T k u = k ⋅ 3 a - 4 b + c - d = k ⋅ T u

Estamos indo bem já que a primeira condição foi satisfeita, verificando agora a segunda condição temos

T u + v = T a b c d + e f g h = T a + e b + f c + g d + h

T u + v = 3 ⋅ a + e - 4 ⋅ b + f + c + g - d + h

T u + v = 3 a - 4 b + c - d + 3 e - 4 f + g - h

T u + v = T u + T v

Portanto nossa transformação é linear.

Passo 2

Procedendo da mesma forma para a segunda transformação vamos utilizar os mesmos vetores u →   e   v → , assim, obteremos

T k u = T k a k b k c k d = k a 2 + k b 2 = k 2 ⋅ T u

Como nossa transformação falhou já na primeira condição temos que essa transformação não é linear pois não atende ao princípio da homogeneidade.

Resposta

a   S i m ,   é   t r a n s f o r m a ç ã o   l i n e a r

b   N ã o   é   t r a n s f o r m a ç ã o   l i n e a r

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