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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.1 - Ex. 13

Nos Exercícios 12-13, encontre a decomposição LDU de A

A = 3 - 12 6 0 2 0 6 - 28 13

Passo 1

Vamos lembrar que a fatoração LU possui duas matrizes:

- L: é uma matriz triangular inferior e possui a diagonal principal com o número 1

- D: é a matriz diagonal

- U: é uma matriz triangular superior e possui diagonal principal com o número 1

Tá, mais ainda não conseguiu enxergar? Se lembre o que o triângulo são os números, e não o zero! Vejamos um exemplo:

L = 1 0 0 x 21 1 0 x 31 x 32 1 ; D = x 11 0 0 0 x 22 0 0 0 x 33   e     U =   1 x 12 x 13 0 1 x 23 0 0 1

Lembrando que x 11 ,   x 12 , x 13   x 21 ,   x 22 ,   ,   x 23 ,   x 31 ,   x 32 ,   x 33 podem ser quaisquer números!

Passo 2

Nossa matriz é:

3 - 12 6 0 2 0 6 - 28 13

Temos que fazer o escalonamento para descobrir qual seria o D, assim:

3 - 12 6 0 2 0 6 - 28 13 ( - 2 ) ∼ 3 - 12 6 0 2 0 0 - 4 1 × 2 ∼ 3 - 12 6 0 2 0 0 0 1 × 2

3 - 12 6 0 2 0 0 0 1 × 6 ∼ 3 0 6 0 2 0 0 0 1 - 6 ∼ 3 0 0 0 2 0 0 0 1

Passo 3

Para saber o L, temos que fazer a equação LD:

1 0 0 x 21 1 0 x 31 x 32 1 3 0 0 0 2 0 0 0 1 = 3 0 0 0 2 0 6 - 28 13

Assim:

L = 1 0 0 0 1 0 2 - 2 1

Passo 4

Para saber o U, temos que fazer a equação DU:

3 0 0 0 2 0 0 0 1 1 x 12 x 13 0 1 x 23 0 0 1 = 3 - 12 6 0 2 0 0 0 13

Temos

3 x 12   = - 12 → x 12 = - 4

3 13 = 6 → x 13 = 2

2 x 23 = 0 → x 23 = 0

Logo

U = 1 - 4 2 0 1 0 0 0 1

Passo 5

Para verificar se as equações estão corretas, podemos multiplica-las:

1 0 0 0 1 0 2 - 2 1 3 0 0 0 2 0 0 0 1 1 - 4 2 0 1 0 0 0 1 =   3 - 12 6 0 2 0 6 - 28 13

3 - 12 6 0 2 0 6 - 28 13 = 3 - 12 6 0 2 0 6 - 28 13

Resposta

L = 1 0 0 0 1 0 2 - 2 1

D = 3 0 0 0 2 0 0 0 1

U = 1 - 4 2 0 1 0 0 0 1

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