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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 2.1 - Ex. 26

Nos Exercícios 21-26, Calcule d e t ⁡ ( A ) com uma expansão em cofatores ao longo de uma linha ou coluna de sua escolha.

26.

A = 4       0       0       1       0 3       3       3 - 1       0 1       2       4       2       3 9       4       6       2       3 2       2       4       2       3

Passo 1

Para calcular o determinante dessa matriz vamos usar o método de Expansão de Cofatores, para matrizes quadradas, no caso na questão, uma matriz 5 x 5 .

det ⁡ A = a 1 j C 1 j + a 2 j C 2 j + … + a n j C n j

[expansão de cofatores ao longo da coluna j ]

det ⁡ A = a i 1 C i 1 + a i 2 C i 2 + … + a i n C i n

[expansão de cofatores ao longo da linha i ]

Ao longo de qual linha ou coluna vamos fazer a expansão de cofatores?

Observe que a primeira linha é composta por três entradas com valor zero ( a 12 , a 13 e a 15 ) . Logo não precisaremos calcular os cofatores correspondente a essas entradas ( C 12 , C 13 e C 15 ) .

det ⁡ A = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 + a 14 C 14 + a 15 C 15

det ⁡ A = a 11 C 11 + 0 × C 12 + 0 * C 13 + a 14 C 14 + 0 * C 15

Logo:

det ⁡ A = a 11 C 11 + a 14 C 14

Passo 2

Calculando C 11 :

C 11 = - 1 1 + 1   M 11 = 1 × M 11 = M 11

M 11 = 3 3 - 1 0 2 4       2 3 4 6       2 3 2 4       2 3

Observe que essa matriz tem duas linhas iguais, a segunda e quarta linha, logo por inspeção sabemos que ao fazer a expansão de cofatores o determinante dessa matriz será zero.

M 11 = 3 3 - 1 0 2 4       2 3 4 6       2 3 2 4       2 3 = 0

Logo C 11 = 0

Passo 3

Calculando C 1 4 :

C 1 4 = - 1 1 + 4   M 1 4 = - 1 × M 11 = - M 1 4

M 1 4 = 3 3       3 0 1 2       4 3 9 4       6 3 2 2       4 3

Observe que a medida que reduzimos essa matriz a ordem menores, as matrizes subsequentes tem linhas e colunas proporcionais, logo ao aplicarmos a expansão de cofatores, o determinante dessa matriz será zero.

M 14 = 3 3       3 0 1 2       4 3 9 4       6 3 2 2       4 3 = 0

Logo C 1 4 = 0

Passo 4

det ⁡ A = a 11 × 0 + a 14 × 0

det ⁡ A = 0

Resposta

det ⁡ A = 0

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