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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 2.1 - Ex. 25

Nos Exercícios 21-26, Calcule d e t ⁡ ( A ) com uma expansão em cofatores ao longo de uma linha ou coluna de sua escolha.

25.

A = 3 3       0       5 2 2       0 - 2 4 1 - 3       0 2 10       3       2

Passo 1

Para calcular o determinante dessa matriz vamos usar o método de Expansão de Cofatores, para matrizes quadradas, no caso na questão, uma matriz 4 x 4 .

det ⁡ A = a 1 j C 1 j + a 2 j C 2 j + … + a n j C n j

[expansão de cofatores ao longo da coluna j ]

det ⁡ A = a i 1 C i 1 + a i 2 C i 2 + … + a i n C i n

[expansão de cofatores ao longo da linha i ]

Ao longo de qual linha ou coluna vamos fazer a expansão de cofatores?

Observe que a terceira coluna é composta por duas entradas com valor zero ( a 13 e a 23 ) . Logo não precisaremos calcular os cofatores correspondente a essas entradas ( C 13 e C 23 ) .

det ⁡ A = a 13 C 13 + a 23 C 23 + a 33 C 33 + a 43 C 43

det ⁡ A = 0 × C 13 + 0 × C 23 + a 33 C 33 + a 43 C 43

Logo:

det ⁡ A = a 33 C 33 + a 43 C 43

Passo 2

Calculando C 33 :

C 33 = - 1 3 + 3   M 33 = 1 × M 33 = M 33

M 33 = 3       3       5 2       2 - 2 2       10       2 = m 11 C m 11 + a 12 C m 12 + a 13 C m 13

C m 11 = - 1 1 + 1   M m 11 = 1 × 2 - 2 10       2 = 2 × 2 - - 2 × 10 = 4 - ( - 20 ) = 24

C m 12 = - 1 1 + 2   M m 12 = - 1 × 2 - 2 2       2 = - 2 × 2 - - 2 × 2 = - 4 - - 4 = - 8

C m 13 = - 1 1 + 3   M m 13 = 1 × 2 2 2 10 = 2 × 10 - 2 × 2 = 20 - 4 = 16

C 33 = M 33 = m 11 C m 11 + a 12 C m 12 + a 13 C m 13

3 × 24 + 3 × - 8 + 5 × 16 = 72 - 24 + 80 = 128

C 33 = 128

Passo 3

Calculando C 43 :

C 43 = - 1 4 + 3   M 43 = - 1 * M 43 = - M 43

M 43 = 3       3       5 2       2 - 2 4       1       0 = m 31 C m 31 + a 32 C m 32 + 0 × C m 33 = m 31 C m 31 + m 32 C m 32

C m 31 = - 1 3 + 1   M m 31 = 1 × 3       5 2 - 2 = 3 × - 2 - 5 × 2 = - 6 - 10 = - 16

C 32 = - 1 3 + 2   M 32 = - 1 × 3       5 2 - 2 = - 3 × - 2 - 5 × 2 = - - 6 - 10 = 16

C 43 = - M 43 = - ( m 31 C m 31 + m 32 C m 32 )

- 4 × - 16 + 1 × 16 = - ( - 64 + 16 ) = 48

C 43 = 48

Passo 4

Agora que temos o C 33 e C 43 podemos calcular o determinante da nossa matriz A :

det ⁡ A = a 33 C 33 + a 43 C 43 = - 3 × 128 + 3 × 48

det ⁡ A = - 384 + 144 = - 240

Resposta

det ⁡ A = - 240

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