Nos Exercícios 21-28, encontre os componentes vetoriais de u ao longo de e ortogonal a a.

25. u = 1,1 , 1 ,   a = 0,2 , - 1

Passo 1

Primeiro vamos encontrar os componentes vetoriais de u ao longo de a , para isso vamos utilizar a seguinte fórmula da projeção:

proj a u = u  ⋅  a       a 2   a

Passo 2

Agora vamos calcular cada uma das seguintes partes, de forma separada:

u  ⋅  a = 1,1 , 1 ⋅ 0,2 , - 1 = 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ - 1 = 0 + 2 - 1 = 1

      a 2 =       0,2 , - 1 2 = 0 2 + 2 2 + - 1 2 = 0 + 4 + 1 = 5

Passo 3

Aplicando os valores na formula temos que:

proj a u = u  ⋅  a       a 2   a = 1 5 0,2 , - 1 = 0 , 2 5 ,   - 1 5

Assim o componente vetorial de u ao longo de a é:

0 , 2 5 ,   - 1 5

Passo 4

Ainda falta encontrarmos o componente vetorial de u ortogonal a a , vamos lembrar que para isso, basta fazermos uma simples subtração, de acordo com a formula:

u - proj a u

Como encontramos o componente vetorial de u ao longo de a proj a u no passo anterior, vamos utilizar agora para encontrar a componente ortogonal.

u - proj a u = 1,1 , 1 - 0 , 2 5 ,   - 1 5 = 1 - 0   ,   1 - 2 5   ,   1 - - 1 5   = 1 , 3 5 , 6 5

Assim o componente vetorial de u ortogonal a a é:

1 , 3 5 , 6 5

Resposta

0 , 2 5 ,   - 1 5   ;   1 , 3 5 , 6 5

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