Enunciado

Mostre que v 1 = ( 2 3 , 1 3 , 2 3 ) e v 2 = ( 1 3 , 2 3 , - 2 3 ) são vetores ortonormais e encontre um terceiro vetor v 3 com o qual o conjunto { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } é ortonormal.

Passo 1

Vamos lá, primeiro temos que lembrar que se um par de vetores é ortogonal temos:

v 1   ⋅ v 2 = 0

v 1   ⋅ v 2 = 2 3 * 1 3 + 1 3 * 2 3 - 2 3 * 2 3 = 2 9 + 2 9 - 4 9 = 0

Logo v 1 e v 2 são ortogonais, ambos precisam ser vetores normais, assim:

v 1 2 = 4 9 + 1 9 + 4 9 = 9 9 = 1

v 2 2 = 1 9 + 4 9 + 4 9 = 9 9 = 1

Assim temos que v 1 e v 2 são ortonormais.

Passo 2

Vamos lá, primeiro temos que lembrar que se um par de vetores é ortogonal temos:

v 1   ⋅ v 2 = 0 , v 1   ⋅ v 3 = 0 , v 2   ⋅ v 3 = 0

Sendo v 3 = ( a ,   b ,   c )

Vamos fazer v 1   ⋅ v 3 = 0 .

v 1   ⋅ v 3 = 2 3 * a + 1 3 * b + 2 3 * c = 2 a 3 + b 3 + 2 c 3 = 0

Vamos fazer v 2   ⋅ v 3 = 0 .

v 2   ⋅ v 3 = 1 3 * a + 2 3 * b - 2 3 * c = a 3 + 2 b 3 - 2 c 3 = 0

Assim temos que:

2 a + b + 2 c = 0   ( i ) a + 2 b - 2 c = 0   ( i i )

Somando as duas equações nós temos:

3 a + 3 b = 0

Assim:

a = - b   ( i i i )

Substituindo i i i em ( i ) :

c = b 2

Passo 3

Para resolver esse sistema devemos lembrar que:

a 2 + b 2 + c 2 = 1

Assim temos que:

( - b ) 2 + b 2 + b 2 4 = 1 = 9 b 2 4

Finalmente descobrimos que:

b = ± 2 3

Assim podemos ter dois vetores que satisfazem essa condição:

v 3 ' = 2 3 , - 2 3 , - 1 3 o u   v ' 3 ' = - 2 3 , 2 3 , 1 3

Resposta

v 3 ' = 2 3 , - 2 3 , - 1 3 o u   v ' 3 ' = - 2 3 , 2 3 , 1 3

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