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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 38

Nos Exercícios 37-40, encontre a distância entre os planos paralelos.

38. 3 x - 4 y + z = 1     e  6 x - 8 y + 2 z = 3

Passo 1

Para encontrarmos a distância D entre os planos paralelos, vamos selecionar um ponto arbitrário em um dos planos e calcular sua distância ao outro plano.

Tomando x = y = 0 na equação 3 x - 4 y + z = 1 , temos que:

z = 1

Assim temos nosso ponto arbitrário ( 0,0 , 1 )

Passo 2

Agora vamos calcular a distância entre nosso ponto ( 0,0 , 1 ) e o outro plano,   6 x - 8 y + 2 z = 3 . Usando a seguinte fórmula:

D = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d   a 2 + b 2 + c 2

Passo 3

Temos a equação do plano 6 x - 8 y + 2 z = 3 , mas primeiro vamos deixar a equação na forma:

6 x - 8 y + 2 z - 3 = 0

Agora basta substituir os dados na fórmula, onde

a = 6 ; b = - 8 ; c = 2

Ponto x 0 , y 0 , z 0 = ( 0,0 , 1 )

Logo:

D = ( 6 ) 0 + ( - 8 ) 0 + 2 ( 1 ) + ( - 3 )   6 2 + ( - 8 ) 2 + 2 2 = 0 + 0 + 2 - 3   3 6 + 6 4 + 4 = - 1   24 = 1 10 4

Resposta

D = 1 104

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Encontre equações vetoriais e paramétricas da reta ou plano dados.O plano em R 3 de equação 2 x - 6 y + 3 z =5 .
Sejam u =( 0 ,5 ,0 ,- 1 , - 2 ) , v =( 1 ,- 1 ,6 ,- 2 ,0 ) ew=( - 4 ,- 1 ,4 ,0 ,2 ) .Calculead i s t â n c i ae n t r e- 3 uev +5 w â .
Sejam u =( 3 ,- 5 ,1 ) , v =( - 2 ,0 ,2 ) ew=( 0 ,- 1 ,4 ) .Calcule u +v +w .
Encontre equações vetoriais e paramétricas da reta ou plano dados.A reta em R 2 que contém o ponto P ( 0 , - 3 ) e é paralela ao vetor ( 8 ,- 1 ) .
Sejam u =( 0 ,5 ,0 ,- 1 , - 2 ) , v =( 1 ,- 1 ,6 ,- 2 ,0 ) ew=( - 4 ,- 1 ,4 ,0 ,2 ) .Calculep r o j wu .