Nos Exercícios 37-40, encontre a distância entre os planos paralelos.

38. 3 x - 4 y + z = 1     e  6 x - 8 y + 2 z = 3

Passo 1

Para encontrarmos a distância D entre os planos paralelos, vamos selecionar um ponto arbitrário em um dos planos e calcular sua distância ao outro plano.

Tomando x = y = 0 na equação 3 x - 4 y + z = 1 , temos que:

z = 1

Assim temos nosso ponto arbitrário ( 0,0 , 1 )

Passo 2

Agora vamos calcular a distância entre nosso ponto ( 0,0 , 1 ) e o outro plano,   6 x - 8 y + 2 z = 3 . Usando a seguinte fórmula:

D = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d   a 2 + b 2 + c 2

Passo 3

Temos a equação do plano 6 x - 8 y + 2 z = 3 , mas primeiro vamos deixar a equação na forma:

6 x - 8 y + 2 z - 3 = 0

Agora basta substituir os dados na fórmula, onde

a = 6 ; b = - 8 ; c = 2

Ponto x 0 , y 0 , z 0 = ( 0,0 , 1 )

Logo:

D = ( 6 ) 0 + ( - 8 ) 0 + 2 ( 1 ) + ( - 3 )   6 2 + ( - 8 ) 2 + 2 2 = 0 + 0 + 2 - 3   3 6 + 6 4 + 4 = - 1   24 = 1 10 4

Resposta

D = 1 104

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