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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.2 - Ex. 5

Nos Exercícios 5-6, aplique o método das potências com mudança de escala de entrada máxima à matriz A, começando com x 0 parando em x 4 . Compare a aproximação resultante com o valor exato do autovalor dominante e o nulo vetor unitário correspondente.

A = 1 - 3 - 3 5 ; x 0 = 1 1

Passo 1

Temos que encontrar os autovalores de A .

det ⁡ A - λ I = 0

  1 - λ - 3 - 3 3 - λ = 0

  λ 2 - 4 λ - 6 = 0

Fazendo Bháskara:

Δ = b 2 - 4 a c = - 4 2 - 4.1 . - 6 = 40

x = - b ± Δ 2 a = 4 ± 40 2 = 2 ±   10

Logo

λ 1 = 2 + 10

λ 2 = 2 - 10

Lembrando que   λ 1 = 2 + 10 é dominante

Passo 2

Agora, descobrindo o auto espaços, com o autovalor dominante:

1 - 3 - 3 3 x y = x ( 2 + 10 ) y ( 2 + 10 )

Entramos em um sistema de equações

x - 3 y = 2 x + x 10 - 3 x + 3 y = 2 y + y √ ( 10 ) →   x = t y = 3 t 1 - 10

Assim descobrimos o autovetor

y 3 t 1 - 10 ∼ t 1 3 1 - 10 ≈ 1 - 1,387

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método das potências, lembrando que o m a x é o maior valor da matriz resultante das multiplicações

A x 0 = 1 - 3 - 3 5 1 1 = - 2 2                                                                                                             x 1 = A x 0 m a x ⁡ ( A x 0 ) = 1 2 . - 2 2 ≈ - 1 1

A x 1 ≈ 1 - 3 - 3 5 - 1 1 = - 4 8                                                                                               x 2 = A x 0 m a x ⁡ ( A x 0 ) = 1 8 . - 2 2 ≈ - 0,5 1

A x 2 ≈ 1 - 3 - 3 5 - 0,5 1 = - 3,5 6,5                                                               x 3 = A x 0 m a x ⁡ ( A x 0 ) = 1 6,5 . - 2 2 ≈ - 0,538 1

A x 3 ≈ 1 - 3 - 3 5 - 0,538 1 = - 3,538 6,615                                 x 4 = A x 0 m a x ⁡ ( A x 0 ) = 1 6,615 . - 2 2 ≈ - 0,538 1

A x 4 ≈ 1 - 3 - 3 5 - 0,538 1 = - 3,535 6,605                                 x 5 = A x 0 m a x ⁡ ( A x 0 ) = 1 6,605 . - 2 2 ≈ - 0,535 1

A x 4 ≈ 1 - 3 - 3 5 - 0,535 1 = - 3,535 6,605

Passo 4

Continuando:

λ 1 = A x 1 . x 1 x 1 . x 1   = A x 1 T . x 1 x 1 T . x 1

Mas, como faz essa conta?

Fazemos a transposta de A, invertendo suas linhas e coluna

A = - 4 8 ; A T = - 4 8

E multiplica por x 1

A x 1 T . x 1 = - 4 8 .   - 1 1 = [ 12 ]

Agora a transposta de x 1 vezes o próprio x 1

x 1 T . x 1 = - 1 1 . - 1 1 = [ 2 ]

Assim, fazendo a divisão

A x 1 T . x 1 x 1 T . x 1 = 12 2 = 6

Sabendo como faz podemos ir direto!

λ 2 = A x 2 . x 2 x 2 . x 2   = A x 2 T . x 2 x 2 T . x 2 = 10 1,25 = 8

λ 3 = A x 3 . x 3 x 3 . x 3   = A x 3 T . x 3 x 3 T . x 3 = 8,518 1,289 = 7,035

λ 4 = A x 4 . x 4 x 4 . x 4   = A x 4 T . x 4 x 4 T . x 4 = 8,506 1,286 = 6,614

λ 5 = A x 5 . x 5 x 5 . x 5   = A x 5 T . x 5 x 5 T . x 5 = 8,492 1,286 = 6,604

Está convergindo os autovalores! Assim como esperado pela teoria! Sabemos que o autovalor dominante é 2 + 10 ≈ 5,167 , ou seja, está convergindo pra ele!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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