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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.4 - Ex. 5a

(a) Obtenha uma aproximação do tempo necessário para executar a fase direta da eliminação de Gauss-Jordan num sistema de 100.000 equações em 100.000 incógnitas usando um computador que consiga executar 1 gigaflop por segundo. Faça o mesmo com a fase indireta. (Ver Tabela 1 .)

Passo 1

Olá! Tudo bem? Iremos resolver essa questão com dois passos, passo 1 para a fase direta e passo 2 para a fase indireta, lembre-se que devemos olhar a Tabela 1 .

(a) Tempo para executar a fase direta da eliminação de Gauss-Jordan:

f l o p s   n a   f a s e   d i r e t a = 2 3 n 3

Logo, para a eliminação de Gauss-Jordan, ( 1   g i g a f l o p = 10 9   f l o p s )

f l o p s   n a   f a s e   d i r e t a = 2 3 10 5 3

f l o p s   n a   f a s e   d i r e t a ≈ 666667 × 10 9

f l o p s   n a   f a s e   d i r e t a ≈ 6 , 6 7 × 10 5 × 10 9

Como o computador considerado pode executar 1 gigaflop por segundo, ele executará 6,67 × 10 5 gigaflops necessários também em 6,67 × 10 5 segundos, o que equivale a 185,1 horas para executar a fase direta da eliminação de Gauss-Jordan num sistema de 100.000 equações em 100.000 incógnitas.

Passo 2

(b) Agora o tempo para executar a fase inversa da eliminação de Gauss-Jordan:

f l o p s   n a   f a s e   i n v e r s a = n 2

Logo, para a eliminação de Gauss-Jordan, ( 1   g i g a f l o p = 10 9   f l o p s )

f l o p s   n a   f a s e   i n v e r s a = ( 10 5 ) 2

f l o p s   n a   f a s e   i n v e r s a ≈ 10 10

Como o computador considerado pode executar 1 gigaflop por segundo, ele necessita de 10 segundos para executar os 10 gigaflops necessários para executar a fase inversa da eliminação de Gauss-Jordan num sistema de 100.000 equações em 100.000 incógnitas.

Resposta

(a) 9,52   s e g u n d o s

(b)   0,0014   s e g u n d o s

(c) 9,52   s e g u n d o s

(d) 28,57   s e g u n d o s

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Use a transformação T x , y = ( x , c y ) , c = b a , juntamente com o fato de que o disco x 2 + y 2 ≤ a 2 é convexo, para mostrar que o “disco elíptico” x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 é um conjunto convexo.
Seja P : R 2 → R 2 a projeção ortogonal sobre a reta y = a x + b . Para todo v = x , y , determine as coordenadas do vetor P v . Conclua que P não é uma transformação linear, salvo se b = 0 .
Seja T : R 2 → R 2 linear, de posto 1. Mostre que existe uma reta r , passando pela origem, a qual é transformada por T num único ponto e que todas as retas paralelas a r têm esta propriedade.
Dada a transformação linear T : R 2 →R 2 , com T x , y = ( 3 x + y , 2 x + 2 y , dê exemplo de um vetor não nulo v tal que t . v = v . Determine todos os vetores v = ( x , y ) com esta propriedade.
Seja w o subespaço de R 3 gerado por V = ( - 1 , - 1 , - 1 ) . Encontre uma base para w ⊥ e dê uma interpretação geométrica para w e w ⊥ .