Nos exercícios 9-12, encontre por inspeção A2, A-2 e A-k (sendo k um inteiro qualquer).

11. 1 2 0 0 0 1 3 0 0 0 1 4

Passo 1

Como vimos no exemplo 1 dessa seção, quando queremos calcular potências de matrizes diagonais, essa potência pode ser aplicada diretamente nos termos da diagonal principal.

Aplicando isso na nossa matriz:

A 2 = 1 2 0 0 0 1 3 0 0 0 1 4 2

A 2 = 1 2 2 0 0 0 1 3 2 0 0 0 1 4 2

A 2 = 1 4 0 0 0 1 9 0 0 0 1 16

Prontinho, agora é só fazer a mesma coisa com as outras potências:

A - 2 = 1 2 0 0 0 1 3 0 0 0 1 4 - 2

A - 2 = 1 2 - 2 0 0 0 1 3 - 2 0 0 0 1 4 - 2

A - 2 = 4 0 0 0 9 0 0 0 16

E por fim:

A k = 1 2 0 0 0 1 3 0 0 0 1 4 k

A k = 1 2 k 0 0 0 1 3 k 0 0 0 1 4 k

Resposta

A 2 = 1 4 0 0 0 1 9 0 0 0 1 16

A - 2 = 4 0 0 0 9 0 0 0 16

A k = 1 2 k 0 0 0 1 3 k 0 0 0 1 4 k

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