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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 3

Nos Exercícios 1-4, verifique que det (A) = d e t ( A^T ) .

3.

A = [[[2,-,1,,,,3],[1,,,,2,,,,4],[5,-,3,,,,6]]]

Passo 1

Para verificar se det (A) = d e t ( A^T ) . Vamos calcular o determinantes das duas matrizes.

Calculando o determinante da matriz A , pelo método de expansão de cofatores ao longo da segunda linha.

|[[2,-,1,,,,3],[1,,,,2,,,,4],[5,-,3,,,,6]]| = a_21 C_21 + a_22 C_22 + a_23 C_23

C_21 = (- 1)^(2 + 1) M_21 = - 1 * |[[-,1,,3],[-,3,6]]| = - [(- 1 xx 6) - (3 xx - 3)] = - (- 6 - (- 9)) = - 3

C_22 = (- 1)^(2 + 2) M_22 = 1 * |[[2,3],[5,6]]| = (2 xx 6) - (3 xx 5) = 12 - 15 = - 3

C_23 = (- 1)^(2 + 3) M_23 = - 1 * |[[2,-,1],[5,-,3]]| = - [(2 xx - 3) - (- 1 xx 5)] = - (- 6 - ( - 5 )) = 1

det (A) = a_21 xx (- 3) + a_22 xx (- 3) + a_23 xx 1

det (A) = 1 xx (- 3) + 2 xx (- 3) + 4 xx 1 = - 3 - 6 + 4 = - 5

Passo 2

Calculado o determinante A^T , pelo método de expansão de cofatores ao longo da segunda linha.

|[[,,,2,,,,1,,,,5],[-,1,,,,2,-,3],[,,,3,,,,4,,,,6]]| = a_21 C_21 + a_22 C_22 + a_23 C_23

C_21 = (- 1)^(2 + 1) M_21 = - 1 * |[[1,5],[4,6]]| = - [(1 xx 6) - (5 xx 4)] = - (6 - 20) = 14

C_22 = (- 1)^(2 + 2) M_22 = 1 * |[[2,5],[3,6]]| = (2 xx 6) - (5 xx 3) = 12 - 15 = - 3

C_23 = (- 1)^(2 + 3) M_23 = - 1 * |[[2,1],[3,4]]| = - [(2 xx 4) - (1 xx 3)] = - (8 - 3) = - 5

det (A^T) = a_21 xx 14 + a_22 xx (- 3) + a_23 xx ( - 5 )

det (A^T) = (- 1) xx 14 + 2 xx (- 3) + (- 3) xx (- 5) = - 14 - 6 + 15 = - 5

Logo os dois determinantes são iguais

Resposta

det (A) = det (A^T) = - 5

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