Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 2.6 - Ex. 8
Explique por que a nulidade de uma matriz nunca é negativa.
Passo 1
Fala ai meu querido, essa é uma questão bastante conceitual, então antes de responde-la vamos lembrar o que é nulidade:
A nulidade pode ser calculada através de
Onde, é o número de colunas da matriz e é o posto, ou seja, o número de linhas não nulas da matriz.
Nesse capítulo vimos que muitas vezes conseguimos zerar uma ou mais linhas da matriz operando algebricamente sobre as linhas da matriz, por isso que posto é um conceito importante também.
Passo 2
Agora respondendo à questão, a nulidade não pode ser negativa, porque temos que relembrar que nossas matrizes estão representando sistemas de equações e incógnitas.
Nosso sistema pode ser reescrito matricialmente no formato e nossa matriz com os coeficientes do sistema terá , ou seja, o número de linhas (equações) é menor ou igual ao número de colunas (incógnitas).
Dessa maneira teremos que, mesmo se todas as linhas da matriz forem nulas, a nulidade nunca poderá ser menor que 0, porque o posto vai ser no máximo igual ao número de colunas (.
Resposta
A nulidade não pode ser negativa, porque .