Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 17
- Dada uma matriz de ordem , você pode considerar as linhas como vetores do e o subspaço , de , gerado por estes vetores. Da mesma forma para a matriz , linha reduzida à forma escada de , podemos considerar o subspaço gerado pelos vetores, dados por suas linhas. Observando que cada linha de é obtida por combinação linear das linhas de e vice-versa (basta reverter as operações com as linhas), justifique que .
- Mostre, ainda, que os vetores dados pelas linhas não nulas de uma matriz-linha reduzida à forma escada são LI.
Passo 1
- É bastante intuitivo pensar que, para que dois subspaços sejam iguais, eles devem possuir os mesmos vetores, certo?
- A ideia aqui é entender que, se a matriz está em sua forma escada, então o número de zeros em suas componentes necessariamente aumenta. Começando do primeiro vetor não nulo, temos, necessariamente, que ele é da forma:
Mas, para possuir os mesmos vetores, o que é necessário? Os conjuntos geradores de ambos os subespaços devem conseguir gerar os mesmos vetores, inclusive os próprios geradores.
Pela própria natureza das operações da redução linha à forma escada, é evidente que os vetores geradores de são gerados, isto é, podem ser escritos como combinação linear dos vetores geradores de .
Disso, temos que os geradores de geram todos os vetores de .
Fazendo as operações inversas, temos que todos os vetores de geram os vetores geradores de e, portanto, geram todos os vetores de .
Ou seja, todo vetor pertencente a pode ser gerado pelos geradores de ou de , do que segue que os subspaços são iguais.
Passo 2
Como e o número de zeros aumenta de linha para linha, temos que:
Onde é o coeficiente do primeiro vetor na combinação linear dos vetores não nulos.
Quando formos para o segundo vetor, seja a primeira componente não nula, então todos os elementos na coluna abaixo de são nulos, do que temos:
Procedendo dessa forma até o último vetor não nulo, temos que todos os coeficientes da combinação linear devem ser nulos.
Resposta
Demonstração.