Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 9
Explique como o procedimento do Exercício poderia ser usado para resolver . Use sua ideia para resolver a equação.
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.
Temos a seguinte equação diferencial:
Usando , e , podemos dizer que . Logo:
Podemos dizer ainda que:
Escrevendo este sistema de equações diferenciais no produto em forma de matriz.
Podemos dizer que:
Consideramos a matriz do coeficiente e encontramos os vetores próprios e a matriz diagonal .
Passo 2
A equação característica de é dada por:
Podemos dizer que:
Portanto é raiz.
Podemos fatorar a equação para obter as outras duas raízes:
Portanto podemos dizer que os valores de Eigen de são .
Passo 3
O vetor corresponde a é obtido através da resolução .
Usando a operação de linha , obtemos:
Para a operação de linha , temos:
Da matriz reduzida, obtemos as equações homogêneas:
Podemos dizer então que:
Passo 4
Faremos o mesmo para e .
O vetor corresponde a é obtido através da resolução .
Usando a operação de linha , obtemos:
Para a operação de linha , temos:
Da matriz reduzida, obtemos as equações homogêneas:
Podemos dizer então que:
Passo 5
O vetor corresponde a é obtido através da resolução .
Usando a operação de linha , obtemos:
Para a operação de linha , temos:
Da matriz reduzida, obtemos as equações homogêneas:
Podemos dizer então que:
Passo 6
Considerando os vetores próprios como as colunas da matriz , obtemos:
Temos que:
Portanto, a matriz diagonal , pode ser dada por:
Passo 7
Assim, obtemos um novo sistema diagonal :
Usando a separação de variáveis, obtemos:
Integrando ambos os lados das equações com as respectivas variáveis, obtemos:
Aplicando exponencial em ambos os lados dessas soluções, obtemos:
Passo 8
Podemos então considerar :
Assim, o conjunto de soluções do sistema de equações é:
A solução geral para a equação diferencial dada é esta.