(a) Expresse v   =   ( 1 ,   1 ) como uma combinação linear de v 1   =   ( 1 ,   - 1 ) ,   v 2   =   ( 3 ,   0 ) e

v 3   =   ( 2 ,   1 ) de duas maneiras distintas.

(b) Explique por que isso não contradiz o Teorema 4.4 . 1

Passo 1

(a)

Vamos lá! Precisamos escrever v como uma combinação de v 1 , v 2 e v 2 , v 3 assim temos:

a v 1 + b v 2 = v

b ' v 2 + c ' v 3 = v

Para nossa primeira combinação temos:

a + 3 b = 1 - a = 1

a = - 1 ,   b = 2 3

v = - v 1 + 2 3 v 2

Agora para nossa segunda combinação temos:

3 b ' + 2 c ' = 1 c ' = 1

c ' = 1 ,   b ' = - 1 3

v = - 1 3 v 2 + v 3

Passo 2

(b)

O teorema 4.4 . 1 diz que:

DEFINIÇÃO 1: Se V for um espaço vetorial qualquer e S   =   { v 1 ,   v 2 ,   .   .   .   ,   v n } for um

conjunto finito de vetores em V , dizemos que S é uma base de V se valerem as duas

condições a seguir.

(a) S é linearmente independente.

(b) S gera V .

Entretanto v 1 , v 2 e v 3 não são base de v , somente 3 vetores quaisquer.

Passo 3

(a)   v = - v 1 + 2 3 v 2 e v = - 1 3 v 2 + v 3

(b) Pois v 1 , v 2 e v 3 não são base de v , somente 3 vetores quaisquer.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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