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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 3.2 - Ex. 2b

Exprimir o polinômio f ( t )   como combinação linear dos polinômios de Lagrange do exercício   1   nos seguintes casos:

a) f ( t )   =   t 2

b) f ( t )   =   t 2   +   t   +   1

c) f ( t )   =   1

Passo 1

Oi, tudo bem? Bora resolver mais um exercício?

Este exercício nos pede para calcular o polinômio f ( t )   como combinação linear dos polinômios de Lagrange do exercício   1   nos seguintes casos, certo?

Se não se lembra desse conteúdo, é hora de dar aquela revisão. Ok?

Passo 2

Vamos lá! De 1 b , temos:

L 0 t = t - 2 × t - 3 1 - 2 × 1 - 3 = t 2 - 5 t + 6 2

L 1 t = t - 1 × t - 3 2 - 1 × 2 - 3 = t 2 - 4 t + 3 - 1 = - t 2 + 4 t + 3

L 2 t = t - 1 × t - 2 3 - 1 × 3 - 2 = t 2 - 3 t + 2 2

Queremos escrever f t como combinação linear de L i t ,   i = { 0 ,1,2 } . Mas f t = t 2 + t + 1 . Daí:

f t = a × L 0 t + b × L 1 t + c × L 2 t ,   a , b ,   c ∈ R .

Passo 3

Vamos lá! t 2 + t + 1 = a × t 2 - 5 t + 6 2 + b × - t 2 + 4 t + 3 + c × t 2 - 3 t + 2 2

⇒ t 2 + t + 1 = t 2 × a 2 - b + c 2 + t × - 5 a 2 + 4 b - 3 c 2 + c × 3 a + 3 b + c

Por igualdade de Polinômios:

a - 2 b + c = 2 - 5 a + 8 b - 3 c = 2 3 a + 3 b + c = 1

Resolvendo o sistema, encontramos a = 1 ,   b = 3 ,   c = 7 .

Resposta

Portanto,   t 2 + t + 1 = L 0 + 3 × L 1 + 7 × L 2 .

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Determinar os polinômios de Lagrange correspondentes aos valores t 0 , t 1 , t 2 , t 3 , t 4 =( 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ) e exprimir o polinômio f ( t )=t 4+t 3-t 2-t+1 como combinação linear deles. Repetir o e
Sejam f ( t )=( t-1 ) ( t-2 ) ( t-3 ) ea) Provar que f ( A )=0 ;b) Sejam L 1( t ) ,L 2( t ) e L 3( t ) os polinômios de Lagrange correspondentes a ( 1 ,2 ,3 ) (ver exercício 1 ) e sejam as matrizes E
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