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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 3.2 - Ex. 3

Determinar os polinômios de Lagrange correspondentes aos valores t 0 , t 1 , t 2 , t 3 , t 4 =   ( 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 )   e exprimir o polinômio f ( t )   =   t 4   +   t 3   -   t 2   -   t   +   1   como combinação linear deles. Repetir o exercício com f ( t )   =   3 t 4     -   2 t 3   +   t 2   -   t   +   5 .

Passo 1

Oi, tudo bem? Bora resolver mais um exercício?

Este exercício nos pede para calcular os polinômios de Lagrange correspondentes aos valores t 0 , t 1 , t 2 , t 3 , t 4 =   ( 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 )   e exprimir o polinômio f ( t )   =   t 4   +   t 3   -   t 2   -   t   +   1   como combinação linear deles, e depois, repetir o exercício com f ( t )   =   3 t 4     -   2 t 3   +   t 2   -   t   +   5 . Certo?

Se não se lembra desse conteúdo, é hora de dar aquela revisão. Ok?

Passo 2

Vamos lá! Como t 0 , t 1 , t 2 , t 3 , t 4 = ( 0,1 , 2,3 , 4 ) e f t = t 4 + t 3 - t 2 - t + 1 , temos:

L 0 t = ( t - 1 ) ( t - 2 ) ( t - 3 ) ( t - 4 ) ( 0 - 1 ) ( 0 - 2 ) ( 0 - 3 ) ( 0 - 4 ) = ( t - 1 ) ( t - 2 ) ( t - 3 ) ( t - 4 ) 24

L 1 t = ( t - 0 ) ( t - 2 ) ( t - 3 ) ( t - 4 ) ( 1 - 0 ) ( 1 - 2 ) ( 1 - 3 ) ( 1 - 4 ) = - ( t - 0 ) ( t - 2 ) ( t - 3 ) ( t - 4 ) 6

Analogamente,

L 2 t = t ( t - 1 ) ( t - 3 ) ( t - 4 ) 4

L 3 t = - t ( t - 1 ) ( t - 2 ) ( t - 4 ) 24

L 4 t = t ( t - 1 ) ( t - 2 ) ( t - 3 ) 24

Daí, como f 0 = 1 ,   f 1 = 1 ,   f 2 = 19 ,   f 3 = 97 e f 4 = 301 , tem:

f t = L 0 + L 1 + 19 × L 2 + 97 × L 3 + 301 × L 4 .

Passo 3

Vamos lá! De maneira análoga para o caso de f t = 3 t 4 - 2 t 3 + t 2 - t + 5 , temos:

f 0 = 5 ,   f 1 = 6 ,   f 2 = 39 ,   f 3 = 200 E f 4 = 657 .

Daí,

f t = 5 × L 0 + 6 × L 1 + 39 × L 2 + 200 × L 3 + 657 × L 4 .

Resposta

Assim, conclui-se o que nos foi pedido.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Achar o polinômio de grau menor ou igual a três tais que f 0 = 1 ,f 1 = 5 ,f 2 = 6 , utilizando o exercício anterior.
f ( t ) = a o + a 1 t + + . . . + a m t m E uma matriz A , indica-se por f ( A ) a matriz a 0 I b + a 1 A + … + a m A m ·. Calcular f ( A ) nos seguintes casos:
f ( t ) = a o + a 1 t + + . . . + a m t m E uma matriz A , indica-se por f ( A ) a matriz a 0 I b + a 1 A + … + a m A m ·. Calcular f ( A ) nos seguintes casos:
1 - b). Repetir o exercício, tomando o polinômio f ( t )=3 t 2+t+1 .
Seja ( t 0 ,t 1 , … ,t n ) uma sequência de números reais dois a dois distintos e s 0 ,s 1 , … ,s n ) uma seqüência qualquer de números reais. Provar que existe um, e apenas um polinômio f ( t ) , tal