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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 3.2 - Ex. 8c

Sejam f ( t )   =   ( t   -   1 ) ( t   -   2 ) ( t   -   3 ) e

a) Provar que f ( A )   =   0 ;

b) Sejam L 1   ( t ) ,   L 2   ( t ) e L 3   ( t ) os polinômios de Lagrange correspondentes a ( 1 ,   2 ,   3 ) (ver exercício 1 ) e sejam as matrizes E i   =   L i   ( A )   ( i   =   1 ,   2 ,   3 ) . Calcular   E 1 , E 2 , E 3 ;

c) Provar que E 1   +   E 2   +   E 3   =   4 , e E i E j   =   o se i   ≠   j ;

d) Mostrar que A   =   E 1   +   2 E 2   +   3 E 3 .

Passo 1

Oi, tudo bem? Bora resolver mais um exercício?

Se não se lembra desse conteúdo, é hora de dar aquela revisão. Ok?

Sejam f t = t - 1 × t - 2 × ( t - 3 ) e A a matriz definida por:

A = 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1

Vamos fazer o que se pede ok?

Passo 2

Vamos lá! Somando E 1 + E 2 + E 3 , temos:

= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 + 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 = I 4 .

Resposta

Concluímos a prova.

E i 2 = E i É trivial.

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Exprimir o polinômio f ( t ) como combinação linear dos polinômios de Lagrange do exercício1 nos seguintes casos:a) f ( t )=t 2 b) f ( t )=t 2+t+1 c) f ( t )=1
Sejam f ( t )=( t-1 ) ( t-2 ) ( t-3 ) ea) Provar que f ( A )=0 ;b) Sejam L 1( t ) ,L 2( t ) e L 3( t ) os polinômios de Lagrange correspondentes a ( 1 ,2 ,3 ) (ver exercício 1 ) e sejam as matrizes E
f ( t ) = a o + a 1 t + + . . . + a m t m E uma matriz A , indica-se por f ( A ) a matriz a 0 I b + a 1 A + … + a m A m ·. Calcular f ( A ) nos seguintes casos:
Exprimir o polinômio f ( t ) como combinação linear dos polinômios de Lagrange do exercício1 nos seguintes casos:a) f ( t )=t 2 b) f ( t )=t 2+t+1 c) f ( t )=1
Sejam a ,b ,c ,d números reais distintos dois a dois. Provar que existe um polinômio de grau menor ou igual a 2 tal que: f - 1 = a ,f 1 =b ,f 3 = c ,f O =d se, e somente se, 3 a+6 b-c-8 d=0 .