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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 3.2 - Ex. 2c

Exprimir o polinômio f ( t )   como combinação linear dos polinômios de Lagrange do exercício   1   nos seguintes casos:

a) f ( t )   =   t 2

b) f ( t )   =   t 2   +   t   +   1

c) f ( t )   =   1

Passo 1

Oi, tudo bem? Bora resolver mais um exercício?

Este exercício nos pede para calcular o polinômio f ( t )   como combinação linear dos polinômios de Lagrange do exercício   1   nos seguintes casos, certo?

Se não se lembra desse conteúdo, é hora de dar aquela revisão. Ok?

Passo 2

Vamos lá! L 0 t = ( t - 5 ) ( t - 6 ) ( 4 - 5 ) ( 4 - 6 ) = t 2 - 11 t + 30 2

L 1 t = t - 4 t - 6 5 - 4 5 - 6 = - t 2 + 10 t - 24

L 2 t = ( t - 4 ) ( t - 5 ) ( 6 - 4 ) ( 6 - 5 ) = t 2 - 9 t + 20 2

Queremos escrever f t como combinação linear de L i t ,   i =   { 0 ,1,2 } . Mas f t = 1 . Daí:

f t = a × L 0 t + b × L 1 t + c × L 2 t ,   a , b ,   c ∈ R .

Passo 3

Vamos lá! Assim,

1 = a × t 2 - 11 t + 30 2 + b × - t 2 + 10 t - 24 + c × t 2 - 9 t + 20 2

⇒ 1 = t 2 × a 2 - b + c 2 + t × - 11 2 a + 10 b - 9 c 2 + 15 a - 24 b + 10

Por igualdade de polinômios:

a - 2 b + c = 0 - 11 a + 20 b - 9 c = 0 15 a - 24 b + 10 = 1

Resolvendo o sistema, encontramos a = b = c = 1 .

Resposta

Portanto, 1 = L 0 + L 1 + L 2 .

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