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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 3.2 - Ex. 5

Sejam L 0   ( t ) ,   L 1   ( t ) , . . .   ,   L n ( t ) Os polinômios de Lagrange correspondentes a ( t o ,   t 1 , . . . ,   t n ) .

Provar que L 0   ( t )   +   L 1   ( t )   + . . .   +   L n ( t )   =   1 e que t   =   t 0 L 0 ( t )   +   t 1 L 1 ( t )   +   . . .   +   t n L n ( t ) .

Passo 1

Oi, tudo bem? Bora resolver mais um exercício?

Se não se lembra desse conteúdo, é hora de dar aquela revisão. Ok?

Sejam ( t 0 , t 1 · ,   ⋯ , t n ) valores reais que são correspondentes dos polinômios de Lagrange L 0 t ,   L 1 t ,   ⋯ , L n t . Por definição, sabemos que { L 0 t ,   L 1 t ,   ⋯ ,   L n   ( t ) } é uma base de P n , e, portanto são linearmente independentes.

Sabemos também que f ( t ) é combinação linear desta base e é definida por:

f t = f t 0 × L 0 t + f t 1 × L 1 t + ⋯ + f t n × L n t .

Passo 2

Vamos lá! Pela álgebra linear, podemos afirmar que se f for função identidade, ou seja,

f : R ⟶ R f t = t

Então, podemos escrever:

f t = t ,   f t 0 = t 0 ,   ⋯ ,   f t n = t n .

E, assim, provamos que:

t = t 0 × L 0 t + t 1 × L 1 t + ⋯ + t n × L n t .

Passo 3

Vamos lá! Assumindo que f é agora uma função constante definida por:

f : R ⟶ R f t = 1

Podemos, então, afirmar que:

f t = f t 0 = f t 1 = ⋯ =   f t n = 1 .

Ou seja, a equação do passo anterior pode ser escrita como:

1 = L 0 t + L 1 t + ⋯ + L n t ,

O que queríamos provar.

Resposta

Concluem-se as demonstrações.

Ver Outros Exercícios desse livro

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