Mostre que as funções f 1 t = e λ 1 t ,   f 2 t = e λ 2 t , … , f k t = e λ k t , onde λ 1 , … , λ k ∈ R , são linearmente independentes se, e somente se, λ i ≠ λ j , para i ≠ j   e   i , j = 1 , … , k .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão ele pede para mostrar que as funções f 1 t = e λ 1 t ,   f 2 t = e λ 2 t , … , f k t = e λ k t , onde λ 1 , … , λ k ∈ R , são linearmente independentes se, e somente se, λ i ≠ λ j , para i ≠ j   e   i , j = 1 , … , k .

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Sabendo que,

f 1 t = e λ 1 t ,   f 2 t = e λ 2 t , … , f k t = e λ k t , onde

λ 1 , … , λ k ∈ k , dado

λ i ≠ λ ,   para i ≠ j e j = 1 , … , k

Ficando,

W [ f 1 , … , f n ] ) ( t ) = d e t ⁡   f 1 t f 2 t … f k t f 1 ' t f 2 ' t … f k ' t ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ f 1 k - 1 f 2 k - 1 t … f k k - 1 t

det ⁡ e λ 1 t e λ 2 t … e λ k t λ 1 e λ 1 t λ 2 e λ 2 t … λ k e λ t ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ λ 1 k - 1 e λ 1 t λ 2 k - 1 e λ 2 t … λ k k - 1 e   λ k t = ∏ i < k λ i - λ j ≠ 0

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

∏ i < k λ i - λ j ≠ 0

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