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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 1.3 - Ex. 9

Mostre que as funções f 1 t = e λ 1 t ,   f 2 t = e λ 2 t , … , f k t = e λ k t , onde λ 1 , … , λ k ∈ R , são linearmente independentes se, e somente se, λ i ≠ λ j , para i ≠ j   e   i , j = 1 , … , k .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão ele pede para mostrar que as funções f 1 t = e λ 1 t ,   f 2 t = e λ 2 t , … , f k t = e λ k t , onde λ 1 , … , λ k ∈ R , são linearmente independentes se, e somente se, λ i ≠ λ j , para i ≠ j   e   i , j = 1 , … , k .

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Sabendo que,

f 1 t = e λ 1 t ,   f 2 t = e λ 2 t , … , f k t = e λ k t , onde

λ 1 , … , λ k ∈ k , dado

λ i ≠ λ ,   para i ≠ j e j = 1 , … , k

Ficando,

W [ f 1 , … , f n ] ) ( t ) = d e t ⁡   f 1 t f 2 t … f k t f 1 ' t f 2 ' t … f k ' t ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ f 1 k - 1 f 2 k - 1 t … f k k - 1 t

det ⁡ e λ 1 t e λ 2 t … e λ k t λ 1 e λ 1 t λ 2 e λ 2 t … λ k e λ t ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ λ 1 k - 1 e λ 1 t λ 2 k - 1 e λ 2 t … λ k k - 1 e   λ k t = ∏ i < k λ i - λ j ≠ 0

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

∏ i < k λ i - λ j ≠ 0

Exercícios de Livros Relacionados

Exprimir o polinômio f ( t ) como combinação linear dos polinômios de Lagrange do exercício1 nos seguintes casos:a) f ( t )=t 2 b) f ( t )=t 2+t+1 c) f ( t )=1
Sejam a ,b ,c ,d números reais distintos dois a dois. Provar que existe um polinômio de grau menor ou igual a 2 tal que: f - 1 = a ,f 1 =b ,f 3 = c ,f O =d se, e somente se, 3 a+6 b-c-8 d=0 .
Sejam L 0( t ) ,L 1( t ) , . . .,L n ( t ) Os polinômios de Lagrange correspondentes a ( t o ,t 1 , . . . ,t n ) . Provar que L 0( t )+L 1( t )+ . . .+L n ( t )= 1 e que t=t 0 L 0 ( t )+t 1 L 1 ( t )+
Suponha que X 1 , X 2 , … , X n seja um conjunto de vetores do R n linearmente independente. Mostre que se A é uma matriz nxn não singular, então A X 1 , A X 2 , … , A X n também é um conjunto linearm
Mostre que 2 ,t + 1 ,t 2 + 1 , … , t n + 1 , … é um conjunto de polinômios linearmente independente.