Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 3.2 - Ex. 6
Sejam números reais distintos dois a dois. Provar que existe um polinômio de grau menor ou igual a tal que: se, e somente se, .
Passo 1
Oi, tudo bem? Bora resolver mais um exercício? Se não se lembra desse conteúdo, é hora de dar aquela revisão. Ok?
Sejam , distintos. Vamos encontrar um polinômio, , tal que:
Os polinômios de Lagrange são:
Passo 2
Vamos lá! Assim,
Como , segue:
Resposta
Assim, concluímos nossa demonstração.
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Verifique se as funções seguintes são linearmente dependentes ou independentes. a )t , cos t , sin te mC 2 - π , π ; b ) cos t ,1 , sin 2 t 2e mC 2 - π , π ; c )1 ,e t + e - t ,e t - e - t e m
Mostre que as funções f 1 t = t e λ 1 t ,f 2 t = t 2 e λ t , … , f k t = t k e λ k t , onde λ ∈ R , são linearmente independentes.
Para k = 0,1 , … , n , seja p k t = t k + t k + 1+ … + t n . Mostre que o conjunto { p 0 t , p 1 t , … , p n t } é linearmente independente em p = R [ t ] .
Verifique se os polinômios seguintes são linearmente dependentes ou independentes. a )t 2 - 2 t + 3,2 t 2 + t + 8 , t 2 + 8 t + 7 ; b )t 2 - 1 , t + 1 , t + 2 .
Verifique que as funções e t cos 3 tee t sin 3 t são soluções linearmente independentes da equação diferencial y ' ' - 2 y ' + 10 y = 0 .