Enunciado

35. Sem fazer as contas descubra uma relação entre os determinantes

d 1 = a b c d 1 f g 0 1 e d 2 = a + λ b c d 1 f g 0 1

Passo 1

Para encontrar uma relação entre esses determinantes sem fazer contas, temos que fazer algumas observações:

1° - Podemos perceber que a terceira linha das duas matrizes são iguais e que a entrada a 32 = 0 , logo aplicando expansão de cofatores ao longo dessa linha, temos:

d 1 = a 31 C 31 + a 3 2 C 3 2 + a 3 3 C 3 3 = g ⋅ C 31 + C d 1 33

d 2 = a 31 C 31 + a 32 C 32 + a 33 C 33 = g ⋅ C 31 + C d 2 33

Passo 2

2° - Agora podemos perceber d 1 e d 2 não são iguais, pois os cofator é C d 1 33 ≠ C d 2 33 . Observe:

C d 1 33 = M d 1 33 = a b d 1

C d 2 33 = M d 2 33 = a + λ b d 1

Como temos apenas o número 1 como último elemento na diagonal principal dessa Matriz 2 x 2 , podemos concluir que:

C d 2 33 = C d 1 33 + λ

Passo 3

3° - Logo como o único fator diferencial entre os determinantes é o acréscimo do λ , chegamos na relação entre os determinantes em que:

d 2 = d 1 + λ

Obs. : Caso λ estivesse em qualquer outra entrada ou a matriz fosse composta por outros valores, teríamos uma relação diferente.

Resposta

d 2 = d 1 + λ

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Para as matrizes do exercício anterior, e os valores de λ encontrados, encontre a solução geral do sistema AX = λX, ou equivalentemente, do sistema homogêneo (A − λIn).X = 0 → .
Calcule o determinante das matrizes a seguir:a) c o s β t s e n β t α c o s β t - β s e n β t α s e n β t + β c o s β t
Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes usando operações elementares para transformá-las em matrizes triangulares superiores. b) A =2 1 3 1 1 0 1 1 0 2 1 0 0 1 2 3
Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes usando operações elementares para transformá-las em matrizes triangulares superiores. A) A =1 - 2 3 1 5 - 9 6 3 - 1 2 - 6 - 2 2 8 6 1
Seja m ' uma matriz 3x3 obtida de m pelo processo de escalonamento. Prove que det[ m ' ] = ( - 1 ) i det ⁡ m , onde i é o número de vezes em eu foi feita alguma troca de posição entre linhas.