35. Sem fazer as contas descubra uma relação entre os determinantes

d 1 = a b c d 1 f g 0 1 e d 2 = a + λ b c d 1 f g 0 1

Passo 1

Para encontrar uma relação entre esses determinantes sem fazer contas, temos que fazer algumas observações:

1° - Podemos perceber que a terceira linha das duas matrizes são iguais e que a entrada a 32 = 0 , logo aplicando expansão de cofatores ao longo dessa linha, temos:

d 1 = a 31 C 31 + a 3 2 C 3 2 + a 3 3 C 3 3 = g ⋅ C 31 + C d 1 33

d 2 = a 31 C 31 + a 32 C 32 + a 33 C 33 = g ⋅ C 31 + C d 2 33

Passo 2

2° - Agora podemos perceber d 1 e d 2 não são iguais, pois os cofator é C d 1 33 ≠ C d 2 33 . Observe:

C d 1 33 = M d 1 33 = a b d 1

C d 2 33 = M d 2 33 = a + λ b d 1

Como temos apenas o número 1 como último elemento na diagonal principal dessa Matriz 2 x 2 , podemos concluir que:

C d 2 33 = C d 1 33 + λ

Passo 3

3° - Logo como o único fator diferencial entre os determinantes é o acréscimo do λ , chegamos na relação entre os determinantes em que:

d 2 = d 1 + λ

Obs. : Caso λ estivesse em qualquer outra entrada ou a matriz fosse composta por outros valores, teríamos uma relação diferente.

Resposta

d 2 = d 1 + λ

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