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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 2.1 - Ex. 33

33. Mostre que o valor do determinante independe de θ .

sen ⁡ θ cos ⁡ θ     0 - cos ⁡ θ sen ⁡ θ     0 sen ⁡ θ - cos ⁡ θ sen ⁡ θ + cos ⁡ θ     1

Passo 1

Aplicando o método de expansão de cofatores ao longo da terceira coluna temos:

det ⁡ A = a 13 C 13 + a 23 C 23 + a 33 C 33

det ⁡ A = 0 × C 13 + 0 × C 23 + a 33 C 33

Assim o determinante dessa matriz é:

det ⁡ A = a 33 C 33

Passo 2

Calculando C 33 :

C 33 = - 1 3 + 3   M 33 = 1 ×     sen ⁡ θ cos ⁡ θ - cos ⁡ θ sen ⁡ θ

= sen ⁡ θ × sen ⁡ θ - [ cos ⁡ θ × - cos ⁡ θ ] = sen 2 ⁡ θ - ( - cos 2 ⁡ θ )

= sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

Logo:

det ⁡ A = a 33 C 33 = 1 × sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

det ⁡ A = sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

Pela relação trigonométrica temos que, sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 , logo:

det ⁡ A = sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Assim o determinante será sempre igual 1 para qualquer valor de θ .

Resposta

det ⁡ A = sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

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