Na Fig. 9-3, a circunferência de centro tem raio . Calcule em função de e das medidas e dos ângulos indicados. Aplique o resultado para provar que todo ângulo inscrito em uma circunferência é reto.
Passo 1
O primeiro passo para facilitar esse problema é definir uma base ortonormal com os eixos e , mostrados na figura:
Vamos escrever as coordenadas de cada ponto:
Assim,
Da mesma forma,
Logo,
Passo 2
Fazendo o produto escalar desses vetores:
Assim,
Ou ainda,
Como e , temos que
Ou ainda,
Passo 3
Caso o ângulo seja inscrito em uma semicircunferência, temos que , de modo que
Portanto, é ortogonal a e o ângulo é reto!