Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 30
Na Fig. 9-3, a circunferência de centro tem raio . Calcule em função de e das medidas e dos ângulos indicados. Aplique o resultado para provar que todo ângulo inscrito em uma circunferência é reto.
Passo 1
O primeiro passo para facilitar esse problema é definir uma base ortonormal com os eixos e , mostrados na figura:
Vamos escrever as coordenadas de cada ponto:
Assim,
Da mesma forma,
Logo,
Passo 2
Fazendo o produto escalar desses vetores:
Assim,
Ou ainda,
Como e , temos que
Ou ainda,
Passo 3
Caso o ângulo seja inscrito em uma semicircunferência, temos que , de modo que
Portanto, é ortogonal a e o ângulo é reto!
Resposta
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Prove que, se a matriz M é ortogonal, então det M = 1 ou det M = - 1 . Vale a recíproca?
Sabendo que vec u + vec v + vec w = vec 0 , ‖vec u‖ = 3 // 2 , ‖vec v‖ = 1 // 2 e ‖vec w‖ = 2 , calcule vec u * vec v + vec v * vec w + vec w * vec u .
Sendo vec u e vec v unitários, ‖vec w‖ = 4 , vec u * vec w = - 2 , vec v * vec w = - 4 , e a n g (vec u , vec v) = pi // 3 , calcule:(5 vec u - vec w) * ( vec w - 2 vec u )
Calcule 2 u → + 4 v → 2 , sabendo que u → é unitário, v → = 2 , e a medida angular entre u → e v → é 2 π / 3 radianos.
Sendo vec u e vec v unitários, ‖vec w‖ = 4 , vec u * vec w = - 2 , vec v * vec w = - 4 , e a n g (vec u , vec v) = pi // 3 , calcule:(vec w - vec v + vec u) * ( - vec u + 2 vec w + vec v )