Na Fig. 9-3, a circunferência de centro O tem raio r . Calcule   B A → ⋅ B C → em função de r e das medidas α e β dos ângulos indicados. Aplique o resultado para provar que todo ângulo inscrito em uma circunferência é reto.

Passo 1

O primeiro passo para facilitar esse problema é definir uma base ortonormal i → ,   j → com os eixos x e y , mostrados na figura:

Vamos escrever as coordenadas de cada ponto:

A = ( - r ,   0 )

B = r cos ⁡ α ,   r   s e n   α

C = r cos ⁡ β ,   - r   s e n   β

Assim,

B A → = A - B = - r ,   0 - r cos ⁡ α ,   r   s e n   α = - r - r cos ⁡ α ,   - r   s e n   α

Da mesma forma,

B C → = C - B = r cos ⁡ β ,   - r   s e n   β - r cos ⁡ α ,   r   s e n   α

Logo,

B C → = r cos ⁡ β - r cos ⁡ α ,   - r   s e n   β - r   s e n   α

Passo 2

Fazendo o produto escalar desses vetores:

B A → ⋅ B C → = r 2 - 1 - cos ⁡ α cos ⁡ β - cos ⁡ α - s e n   α   - s e n   β - s e n   α

Assim,

B A → ⋅ B C → = - r 2 cos ⁡ β - cos ⁡ α + cos ⁡ α cos ⁡ β - cos 2 ⁡ α - s e n   α   s e n   β - s e n 2 α

Ou ainda,

B A → ⋅ B C → = - r 2 cos ⁡ β - cos ⁡ α + cos ⁡ α cos ⁡ β - s e n   α   s e n   β - cos 2 ⁡ α + s e n 2 α

Como cos 2 ⁡ α + s e n 2 α = 1 e cos ⁡ α cos ⁡ β - s e n   α   s e n   β = cos ⁡ α + β , temos que

B A → ⋅ B C → = - r 2   cos ⁡ β - cos ⁡ α + cos ⁡ ( α + β - 1 ]

Ou ainda,

B A → ⋅ B C → = r 2   1 + cos ⁡ α - cos ⁡ β - cos ⁡ α + β

Passo 3

Caso o ângulo A B C ^ seja inscrito em uma semicircunferência, temos que β = 0 , de modo que

B A → ⋅ B C → = r 2   1 + cos ⁡ α - cos ⁡ 0 - cos ⁡ α = 0

Portanto,   B A → é ortogonal a   B C → e o ângulo A B C ^ é reto!

Resposta

B A → ⋅ B C → = r 2   1 + cos ⁡ α - cos ⁡ β - cos ⁡ α + β

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