Prove que:

a) u → + v → ⋅ u → - v → = u → 2 - v → 2

b) as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares se, e somente se, o paralelogramo é um losango.

c) v → u → + u → v → é ortogonal a v → u → - u → v →

Passo 1

O item (a) é bem simples e serve de guia para demonstrar o item (b). Fazendo a distributiva:

u → + v → ⋅ u → - v → = u → ⋅ u → - u → ⋅ v → + v → ⋅ u → - v → ⋅ v →

Os termos mistos se cancelam, restando

u → + v → ⋅ u → - v → = u → 2 - v → 2

Lembre-se que u → ⋅ u → = u → 2 .

Passo 2

No item (b) temos que considerar a figura:

As diagonais do paralelogramo são dadas por u → + v → e u → - v → . Sabemos que elas são perpendiculares se, e somente se,

u → + v → ⋅ u → - v → = 0

Nesse caso, pelo item (a), temos que

u → 2 - v → 2 = 0 ⟺ u → = v →

Neste caso, todos os lados do paralelogramo são iguais e ele é chamado de losango. Provamos o item (b)!

Passo 3

No item (c), queremos mostrar que v → u → + u → v → é ortogonal a v → u → - u → v → . Para isso, basta fazer o produto escalar:

v → u → + u → v → ⋅ v → u → - u → v → = v → 2 u → ⋅ u → - u → v → u → ⋅ v → + u → v → u → ⋅ v → - u → 2 v → ⋅ v →

Os termos do meio se cancelam, de modo que

v → u → + u → v → ⋅ v → u → - u → v → = v → 2 u → 2 - u → 2 v → 2 = 0

Portanto, eles são ortogonais!

Resposta

Demonstração.

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