Prove que:
a)
b) as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares se, e somente se, o paralelogramo é um losango.
c) é ortogonal a
Passo 1
O item (a) é bem simples e serve de guia para demonstrar o item (b). Fazendo a distributiva:
Os termos mistos se cancelam, restando
Lembre-se que .
Passo 2
No item (b) temos que considerar a figura:
As diagonais do paralelogramo são dadas por e . Sabemos que elas são perpendiculares se, e somente se,
Nesse caso, pelo item (a), temos que
Neste caso, todos os lados do paralelogramo são iguais e ele é chamado de losango. Provamos o item (b)!
Passo 3
No item (c), queremos mostrar que é ortogonal a . Para isso, basta fazer o produto escalar:
Os termos do meio se cancelam, de modo que
Portanto, eles são ortogonais!
Resposta
Demonstração.