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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 42

Sejam A , B e C pontos não-colineares, u → = A B → , v → = A C → . Prove que, se a → e u → são de mesmo sentido e o mesmo ocorre com b → e v → , e se a → = b → , então a → + b → é paralelo à bissetriz de B Â C .

Passo 1

Bom, o primeiro passo aqui é usar que a → é paralelo a u → e que b → é paralelo a v → :

a → = x   u →               e                 b → = y   v →

Para que a → + b → seja paralelo à bissetriz de BÂC, devemos ter que o ângulo entre u → e a → + b → deve ser igual ao ângulo entre v → e a → + b → . Desta forma, vamos calcular o cosseno de cada um dos ângulos e compará-los!

Passo 2

Para o ângulo entre a → + b → e u → :

cos ⁡ θ 1 = a → + b → ⋅ u → a → + b → u →

Assim,

cos ⁡ θ 1 = x   u →   + y   v → ⋅ u → a → + b → u → = x a → + b →   u → 2 u → + y a → + b →   u → ⋅ v → u →

Analogamente, para o ângulo entre   a → + b → e v → :

cos ⁡ θ 2 = a → + b → ⋅ v → a → + b → v → = x   u →   + y   v → ⋅ v → a → + b → v → = x a → + b →   u → ⋅ v → v → + y a → + b →   v → 2 v →

O que temos que fazer é mostrar que essas duas expressões são iguais!

Passo 3

Vamos olhar primeiro para

x a → + b →   u → 2 u → = 1 a → + b →   x   u →                 e                   y a → + b →   v → 2 v → = 1 a → + b →   y   v →

Sabemos que a → = b → , de modo que x   u → = y   v → . Portanto, esses dois termos são iguais!

Agora vamos comparar a outra parte:

y a → + b →   u → ⋅ v → u →             e             x a → + b →   u → ⋅ v → v →

Como x   u → = y   v → , temos que

y u → = x v →

Portanto, esses dois termos são iguais! Agora olha que interessante, achamos que

x a → + b →   u → 2 u → = y a → + b →   v → 2 v →                   e             y a → + b →   u → ⋅ v → u → = x a → + b →   u → ⋅ v → v →

Portanto,

cos ⁡ θ 1 = x a → + b →   u → 2 u → + y a → + b →   u → ⋅ v → u → = x a → + b →   u → ⋅ v → v → + y a → + b →   v → 2 v → = cos ⁡ θ 2

Assim, a → + b → é paralelo à bissetriz do ângulo B Â C !

Resposta

Demonstração.

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