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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 10.7 - Ex. 10

Se A é uma forma bilinear simétrica e Q a forma quadrática associada a ela, mostre que:

A v , w = 1 4 Q v + w - 1 4 Q ( v - w )

Passo 1

Vamos reescrever a equação acima, veja:

4 A v , w = Q v + w - Q ( v - w )

Seja ainda:

v = v 1 , … , v n   e   w = ( w 1 , … , w n )

Passo 2

Sabemos que:

A v , w = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j v i w j

Veja que:

Q v + w = A v + w , v + w = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j ( v i + w i ) ( v j + w j )

E:

Q v - w = A v - w , v - w = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j ( v i - w i ) ( v j - w j )

Passo 3

Um passo natural é:

Q v + w - Q v - w = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j v i + w i v j + w j - ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j ( v i - w i ) ( v j - w j )

Poh, se agruparmos a galera que tem a i j , podemos escrever:

Q v + w - Q v - w = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j [ v i + w i v j + w j - ( v i - w i ) ( v j - w j ] )

Que fazendo umas continhas:

Q v + w - Q v - w = 2 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j v i w j + 2 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j v j w i

Veja que o segundo somatório pode ser reescrito como:

∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j v j w i = ∑ j = 1 n ∑ i = 1 n a j i v j w i

Mas isso é a mesma soma A ( v , w ) . Logo:

Q v + w - Q v - w = 2 A v , w + 2 A v , w = 4 A ( v , w )

Resposta

Demonstração.

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Mostre que se B ( v , w ) é uma forma bilinear simétrica cuja forma quadrática associada é positiva definida, então B ( v , w ) é um produto interno. Compare com o Exercício 3.
Verifique se as aplicações abaixo são formas bilineares. B : R 2 × R 2 → R definida por B x 1 , y 1 , x 2 , y 2 = x 1 + y 2 B : V × V → R definida por B u , v = u , v .
Qual é a matriz M 2 × 2 associada à forma bilinear de R 2 × R 2 → R que dá o produto interno usual de R 2 ?
Mostre o resultado afirmado em 10.4 . 2 e use este fato para dar exemplos de formas bilineares simétricas B : R 5 × R 5 → R .