Se A é uma forma bilinear simétrica e Q a forma quadrática associada a ela, mostre que:

A v , w = 1 4 Q v + w - 1 4 Q ( v - w )

Passo 1

Vamos reescrever a equação acima, veja:

4 A v , w = Q v + w - Q ( v - w )

Seja ainda:

v = v 1 , … , v n   e   w = ( w 1 , … , w n )

Passo 2

Sabemos que:

A v , w = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j v i w j

Veja que:

Q v + w = A v + w , v + w = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j ( v i + w i ) ( v j + w j )

E:

Q v - w = A v - w , v - w = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j ( v i - w i ) ( v j - w j )

Passo 3

Um passo natural é:

Q v + w - Q v - w = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j v i + w i v j + w j - ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j ( v i - w i ) ( v j - w j )

Poh, se agruparmos a galera que tem a i j , podemos escrever:

Q v + w - Q v - w = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j [ v i + w i v j + w j - ( v i - w i ) ( v j - w j ] )

Que fazendo umas continhas:

Q v + w - Q v - w = 2 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j v i w j + 2 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j v j w i

Veja que o segundo somatório pode ser reescrito como:

∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j v j w i = ∑ j = 1 n ∑ i = 1 n a j i v j w i

Mas isso é a mesma soma A ( v , w ) . Logo:

Q v + w - Q v - w = 2 A v , w + 2 A v , w = 4 A ( v , w )

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados