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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 10.7 - Ex. 2

Verifique se as aplicações abaixo são formas bilineares.

  1. B : R 2 × R 2 → R definida por B x 1 , y 1 , x 2 , y 2 = x 1 + y 2
  2. B : V × V → R definida por B u , v =   < u , v > .

Passo 1

  1. Veja que devemos ter, para ( x 2 , y 2 ) fixado:

    2. B a x 1 , y 1 , x 2 , y 2 = a B x 1 , y 1 , x 2 , y 2

    Então vamos às contas:

    B a x 1 , y 1 , x 2 , y 2 = a x 1 + y 2

    a B x 1 , y 1 , x 2 , y 2 = a x 1 + y 2 = a x 1 + a y 2

    Veja que nem sempre eles são iguais (depende de a e de y 2 ).

    Logo, não é uma forma bilinear.

    Passo 2

  2. No produto interno, se fixarmos w :

< v 1 + v 2 , w >   =   < v 1 , w > + < v 2 , w >

< a v , w > = a < v , w >

Além disso, se a gente fixar o v :

< v , w 1 + w 2 >   =   < w 1 + w 2 , v >   =   < w 1 , v >   +   < w 2 , v >   =   < v , w 1 > + < v , w 2 >

< v , a w > = < a w , v >   =   a < w , v >   = a < v , w >

Disso, vemos que B cumpre as propriedades de uma forma bilinear.

Resposta

  1. Não é;
  2. É.
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Mostre que se B ( v , w ) é uma forma bilinear simétrica cuja forma quadrática associada é positiva definida, então B ( v , w ) é um produto interno. Compare com o Exercício 3.
Qual é a matriz M 2 × 2 associada à forma bilinear de R 2 × R 2 → R que dá o produto interno usual de R 2 ?
Mostre o resultado afirmado em 10.4 . 2 e use este fato para dar exemplos de formas bilineares simétricas B : R 5 × R 5 → R .
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