Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 10.7 - Ex. 12
Mostre que se é uma forma bilinear simétrica cuja forma quadrática associada é positiva definida, então é um produto interno. Compare com o Exercício 3.
Passo 1
Bom, se é uma forma bilinear simétrica positiva definida, podemos escrever sua matriz diagonalizada como sendo:
Onde:
Passo 2
Precisamos verificar se ela satisfaz os axiomas do produto interno. Então vamos lá:
- , somente se . Isso vem do fato de ela ser positiva definida.
Mas se e :
Resposta
Demonstração.
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Seja A x , y , x ' , y ' = 3 x x ' - y y ' . Ache a forma quadrática Q :R 2 → R associada a A .Seja Q x , y = 2 x 2 + 4 x y - y 2 . Ache a matriz da forma bilinear associada.
Seja Q x , y = x 2 + 12 x y - 4 y 2 . Determine uma base β tal que v β = x 1 y 1eQ v = a x 1 2 + b y 1 2
Se M = - 1 2 3 2 , ache a forma bilinear B : R 2 × R 2 → R associada à matriz M . Esta forma bilinear é simétrica?
Uma forma quadrática Q é chamada positiva definida, se para todo v ≠ 0 , Q v0 .Como devem ser os autovalores da matriz de uma forma quadrática postiva definida? (Pense na matriz diagonalizada.)A forma
Seja f uma forma linear de R 2 em R tal que f x , y = - x + 2 y Sejam α = { 1 , - 1 , ( 2,0 ) } e β = { - 1 } bases de R 2 e R respectivamente. Se v α = - 3 5 , calcule f v β .