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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 10.7 - Ex. 7

Mostre o resultado afirmado em 10.4 . 2 e use este fato para dar exemplos de formas bilineares simétricas B : R 5 × R 5 → R .

Passo 1

Bom seja B α α uma matriz simétrica.

B α α = a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n

Onde a i j = a j i .

Então, a gente sabe que:

B u , v = ∑ j = 1 n ∑ i = 1 n a i j x i y j

E B v , u = ∑ j = 1 n ∑ i = 1 n a i j y i x j .

Passo 2

Como a adição é comutativa e a j i = a i j , nos podemos trocar os índices i   e   j , do que vamos obter:

B v , u = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a j i x j y i

Veja que isso é igual B u , v α .

Passo 3

Vamos assumir agora que B é simétrica. Então a gente pode afirmar que B u , v = B ( v , u ) .

Disso, a gente pode escrever:

∑ j = 1 n ∑ i = 1 n a i j x i y j = ∑ j = 1 n ∑ i = 1 n a i j y i x j

Passo 4

Trocando os índices da direita de lugar, a gente tem:

∑ j = 1 n ∑ i = 1 n a i j x i y j = ∑ j = 1 n ∑ i = 1 n a j i y j x i

Mas isso deve valer para todos os vetores u   e   v , então:

a i j = a j i

Mas o que isso significa? Isso mesmo, que B α α é simétrica.

Passo 5

Escolha uma matriz simétrica de ordem 5.

Resposta

Demonstração. Escolha uma matriz simétrica de ordem 5.

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Seja Q (x , y) = x^2 + 12 x y - 4 y^2 . Determine uma base beta tal que[v]_beta = [[[x_1],[y_1]]] e Q (v) = a x_1^2 + b y_1^2
Se M = - 1 2 3 2 , ache a forma bilinear B : R 2 × R 2 → R associada à matriz M . Esta forma bilinear é simétrica?
Uma forma quadrática Q é chamada positiva definida, se para todo v ≠ 0 , Q v0 .Como devem ser os autovalores da matriz de uma forma quadrática postiva definida? (Pense na matriz diagonalizada.)A forma
Seja f uma forma linear de R 2 em R tal que f x , y = - x + 2 y Sejam α = { 1 , - 1 , ( 2,0 ) } e β = { - 1 } bases de R 2 e R respectivamente. Se v α = - 3 5 , calcule f v β .