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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 5.2 - Ex. 3

Identificar a cônica cuja equação em coordenadas polares é dada. Determine a excentricidade, a equação da diretriz, a distância da diretriz ao foco e as coordenadas polares de dois vértices:

  1. r = 5 2 - 2 cos ⁡ θ

  2. r = 6 3 + sen ⁡ θ

  3. r = 3 2 + 4 cos ⁡ θ

  4. r = 4 2 - 3 cos ⁡ θ

Passo 1

E aí, tudo joia?

Vamos lembrar que:

r = x 2 + y 2

cos ⁡ θ = x x 2 + y 2     e   sen ⁡ θ = y x 2 + y 2

E vamos substituir isso nas equações para determinar:

  1. r = 5 2 - 2 cos ⁡ θ

    2. x 2 + y 2 = 5 2 - 2 x x 2 + y 2

    x 2 + y 2 = 5 2 x 2 + y 2 - 2 x x 2 + y 2

    1 = 5 2 x 2 + y 2 - 2 x

    2 x 2 + y 2 = 5 + 2 x

    4 x 2 + y 2 = 25 + 20 x + 4 x 2

    4 y 2 = 25 + 20 x

    y 2 = 5 x + 25 4

    Passo 2

    Essa é a equação de uma parábola. Vamos identificar seus elementos então...

    Daqui temos que:

    4 p = 5 → p = 5 4

    Então a distância do foco à diretriz é 2 p = 5 2 .

    O vértice dela é - 5 4 ,   0 , em coordenada polar: 5 4 ,   π .

    A diretriz é x = - 5 2 .

    E a excentricidade da parábola é constante, e = 1 .

    Passo 3

    Bora pra próxima agora!

  2. r = 6 3 + sen ⁡ θ

    3. x 2 + y 2 = 6 3 + y x 2 + y 2

    x 2 + y 2 = 6 3 x 2 + y 2 + y x 2 + y 2

    1 = 6 3 x 2 + y 2 + y

    3 x 2 + y 2 = 6 - y  

    9 x 2 + y 2 = 36 - 12 y + y 2

    9 x 2 + 8 y 2 + 12 y = 36

    Completando o quadrado:

    9 x 2 + 8 y + 3 4 2 = 36 + 9 2

    9 x 2 + 8 y + 3 4 2 = 81 2

    Dividindo tudo por 81 2 :

    x 2 9 2 + y + 3 4 2 81 16 = 1

    Essa é a equação de uma elipse com a = 9 4     e   b = 3 2 . E centro em 0 ,   - 3 4 .

    Temos c 2 = 81 16 - 9 2 = → c = 3 4 .

    Daí, a excentricidade é: e = c a = 3 4 9 4   = 1 3 .

    A diretriz é y = 6 .

    E dois vértices em coordenadas polares: 3 2 , π 2   e   3 ,   - π 2 .

    Passo 3

    Bora pra próxima!

  3. r = 3 2 + 4 cos ⁡ θ

    4. x 2 + y 2 = 3 2 + 4 x x 2 + y 2

    x 2 + y 2 = 3 2 x 2 + y 2 + 4 x x 2 + y 2

    1 = 3 2 x 2 + y 2 + 4 x

    2 x 2 + y 2 = 3 - 4 x

    4 x 2 + 4 y 2 = 9 - 24 x + 16 x 2

    12 x 2 - 24 x - 4 y 2 = - 9

    12 x - 1 2 - 4 y 2 = - 9 + 12

    12 x - 1 2 - 4 y 2 = 3

    x - 1 2 1 4 - y 2 3 4 = 1

    Essa é a equação de uma hipérbole, com a = 3 2   e   b = 1 2 . Daí:

    c 2 = 1 4 + 3 4 = c = 1

    A excentricidade então é:

    e = 1 1 2 = 2

    A diretriz é x = 3 4 .

    Dois vértices em coordenadas polares:

    1 2 ,   0   e   - 3 2 ,   π

    Passo 4

  4. r = 4 2 - 3 cos ⁡ θ

x 2 + y 2 = 4 2 - 3 x x 2 + y 2

1 = 4 2 x 2 + y 2 - 3 x

2 x 2 + y 2 = 4 + 3 x

4 x 2 + 4 y 2 = 9 x 2 + 24 x + 16

5 x 2 + 24 x - 4 y 2 = - 16

5 x + 12 5 2 - 4 y 2 = - 16 + 144 5

5 x + 12 5 2 - 4 y 2 = 64 5

x + 12 5 2 64 25 - y 2 16 5 = 1

Essa é a equação de uma hipérbole, com a = 4 5 e b = 8 5 , e centro em - 12 5 , 0 .   Daí, temos:

c 2 = 64 25 + 16 5 → c = 12 5

A excentricidade então é e =   12 5 8 5 = 12 8 = 3 2 .

A diretriz então é x = 4 3 .

E dois vértices em coordenadas polares: - 4,0   e   4 5 ,   π .

Ufa! Terminamos😉

Resposta

  1. Parábola, e = 1 , d = 5 2 , 5 4 ,   π .
  2. Elipse, e = 1 3 ,   d = 6 ,   V 1 = 3 2 , π 2   e   V 2 = 3 ,   - π 2
  3. Hipérbole, e = 2 ,   d = 3 4 ,   V 1 = 1 2 ,   0   e   V 2 = - 3 2 ,   π
  4. Hipérbole, e = 3 2 ,   d = 4 3 ,   V 1 = - 4,0   e   V 2 = 4 5 ,   π

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