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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 9.Problemas propostos - Ex. 9 d

Identificar e descrever as superfícies de equações dadas.

Passo 1

Falaaaaaa aí!!!! Tudo bem?

Bora matar mais essa?

Então, a primeira coisa que vamos precisar é identificar a nossa superfície, que depois tudo se resolve. Mas aí, você pode me perguntar como eu vou saber quem é quem???

Fica tranquilo, que o segredo é o seguinte, vamos expressar as equações na sua forma reduzida, e depois vamos conferir no conteúdo Superfícies e Quádricas qual equação dará match com a nossa.

Passo 2

Vamos escrever nossa equação:

2 x 2 + y 2 - 4 z 2 + 2 y + 5 = 0

Podemos subtrair 5 de cada lado:

2 x 2 + y 2 - 4 z 2 + 2 y = - 5

Reorganizando, temos:

2 x 2 + y 2 + 2 y - 4 z 2 = - 5

Vamos colocar uns parênteses separando nossas incógnitas para nos ajudar:

2 x 2 + y 2 + 2 y - 4 z 2 = - 5

Temos y 2 , podemos tentar completar os pararênteses para voltar na forma produtos notáveis, vamos chamar esse complemento de a .

Ahhhh, mas vamos lembrar que o que colocamos do lado esquerdo precisamos colocar no direito:

2 x 2 + y 2 + 2 y + a 2 - 4 z 2 = - 5 + a 2

Seguindo a solução de um produto notável, temos que:

x ± c 2 = x 2 ± 2 x c + c 2

Agora vamos analisar cada parentesê separado:

y 2 + 2 y + a 2 = x - a 2

2 y = 2 a y

a = 1

Voltando para nossa equação:

2 x 2 + y 2 + 2 y + a 2 - 4 z 2 = - 5 + a 2

Vamos substituir nosso valor de a :

2 x 2 + y 2 + 2 y + 1 2 - 4 z 2 = - 5 + 1 2

2 x 2 + y 2 + 2 y + 1 - 4 z 2 = - 5 + 1

2 x 2 + y 2 + 2 y + 1 - 4 z 2 = - 4

Agora só precisamos escrever na forma de produtos notáveis:

2 x 2 + y + 1 2 - 4 z 2 = - 4

Vamos dividir toda a equação por - 4 :

2 x 2 - 4 + y + 1 2 - 4 - 4 z 2 - 4 = - 4 - 4

x 2 - 2 - y + 1 2 4 + z 2 = 1

Agora sim, temos uma equação parecida que nos lembra uma das equações do hiperboloide de duas folhas (vou colocar as equações do hiperboloide de duas folhas só para recordar):

- x 2 a 2 - y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 ou x 2 a 2 - y 2 b 2 - z 2 c 2 = 1 ou - x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 c 2 = 1

Então:

Passo 3

Agora vamos identificar o centro C . O centro será os valores que zeram o lado direito, então:

C = 0 , - 1,0

Arrasamos!!!!!!

Agora faltam apenas sete, bora resolve-las?

Resposta

Hiperboloide de duas folhas, com centro 0 , - 1,0 e paralelo ao eixo O z

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Escreva as equações de mudança de eixos (rotações) que eliminam os termos em x y ,x zey z nas formas quadráticas do Exercício 44.1.
Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y
Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y
Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y
Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y