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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 11.6 - Ex. 3

Identifique a figura e ache sua posição, se sua equação é:

x y + x + y = 0

Passo 1

Nessa equação, nós só temos termos em x e em y , então a figura vai ser uma cônica! O que a gente tem que fazer aqui é usar o teorema 11.4 . 7 para analisar qual tipo de figura que é. Bora então. Primeiro a gente identifica os coeficientes:

x y + x + y = 0

A = 0 ,   B = 1 ,   C = 0 ,   D = 1 ,   E = 1 ,   F = 0

Calculando o discriminante:

B 2 - 4 A C = 1 2 - 4 0 0 = 1

Como o discriminante deu positivo, a equação representa uma hipérbole!

Passo 2

Agora vamos fazer o processo que ele ensinou pra gente pra determinarmos a posição. Pra isso vamos escrever a equação na forma matricial:

x y 0 1 2 1 2 0 x y + 1 1 x y = 0

Precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz que acompanha os termos de segundo grau! Pra isso vamos na definição:

M = 0 1 2 1 2 0

det ⁡ M - λ I = 0 - λ 1 2 1 2 0 - λ = - λ 2 - 1 4 = λ 2 - 1 4

Resolvendo essa equação, vamos encontrar λ = 1 2   ou λ = - 1 2 . Vamos substituir pra encontrar os autovetores!

λ = 1 2 :   0 - 1 2 1 2 1 2 0 - 1 2 x y = 0 0 → - x 2 + y 2 = 0 → x = y

Então o vetor ( 1 ,   1 ) é autovetor associado a λ = 1 2 , e, dividindo pelo seu módulo para ortonormalizar, vamos obter v 1 = 1 2 ,   1 2 .

λ = - 1 2 :   1 2 1 2 1 2 1 2 x y = 0 0 → x 2 + y 2 = 0 → y = - x

Então o vetor ( 1 ,   - 1 ) é autovetor associado a λ = - 1 2 , e, dividindo pelo seu módulo para ortonormalizar, vamos obter v 2 = 1 2 , -   1 2 .  

Passo 3

O próximo passo é substituir na equação matricial!

x ' y ' 1 2 0 0 - 1 2 x ' y ' + 1 1 1 2 1 2 1 2   - 1 2 x ' y ' = 0

Desenvolvendo:

1 2 x ' 2 - 1 2 y ' 2 + 2 2 0 x ' y ' = 0

1 2 x ' 2 - 1 2 y ' 2 + 2 x ' = 0

Essa equação representa a cônica em relação ao nosso novo referencial ( x ' ,   y ' ) . Reescrevendo:

x ' 2 - y ' 2 + 2 2 x ' = 0

Completando o quadrado, obtemos sua posição:

x ' + 2 2 - y ' 2 = 2

O centro dessa hipérbole é o ponto ( - 2 ,   0 ) , e seus eixos estão nas direções de 1 2 , 1 2 e 1 2 ,   - 1 2 .

Resposta

Hipérbole de equação:

x ' + 2 2 - y ' 2 = 2

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