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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 23.Exercício - Ex. 02

Mostre que, se θ satisfaz [23-12], então b 2 / sin 2 ⁡ 2 θ = b 2 + a - c 2 . Conclua que, se 2 θ é escolhido em ] 0 ,   π [ , então a ' - c ' = b 2 + a - c 2 quando b > 0 e a ' - c ' = - b 2 + a - c 2 quando b < 0 (portanto, a ' - c ' e b têm mesmo sinal).

Passo 1

Da teoria, temos

cot ⁡ 2 θ = a - c b ⟹ b cot ⁡ 2 θ = a - c

Ora, sabemos

sin ⁡ 2 θ = 1 1 + cot 2 ⁡ 2 θ

Logo,

b sin ⁡ 2 θ 2 = b 2 1 + cot 2 ⁡ 2 θ = b 2 + b 2 cot 2 ⁡ 2 θ ⟺

b sin ⁡ 2 θ 2 = b 2 + a - c 2

Da teoria, sabemos que a ' - c ' = b / sin ⁡ 2 θ . Assim,

a ' - c ' 2 = b 2 + a - c 2

Passo 2

Se 2 θ é escolhido no intervalo 0 ,   π , segue que sin ⁡ 2 θ > 0 . Se b > 0 , então temos

a ' - c ' = b sin ⁡ 2 θ > 0

Dessa forma, temos

a ' - c ' 2 = b 2 + a - c 2 ⟹ a ' - c ' = b 2 + a - c 2

onde só devemos escolher a raiz positiva (pois já sabemos que a ' - c ' > 0 ).

Passo 3

Se 2 θ é escolhido no intervalo 0 ,   π , segue que sin ⁡ 2 θ > 0 . Se b < 0 , então temos

a ' - c ' = b sin ⁡ 2 θ < 0

Dessa forma, temos

a ' - c ' 2 = b 2 + a - c 2 ⟹ a ' - c ' = - b 2 + a - c 2

onde só devemos escolher a raiz negativa (pois já sabemos que a ' - c ' < 0 ).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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