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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 23.Exercício - Ex. 03

Faça uma rotação conveniente para eliminar o termo quadrático misto nos casos:

  1. g x , y = 13 x 2 + 6 x y + 21 y 2 .
  2. g x , y = 4 x 2 - 4 x y + y 2 - 8 5 x - 16 5 y .

Passo 1

Considere a cônica g x , y = a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f

Queremos girar nossos eixos coordenados de um ângulo θ a fim de sumir com o termo quadrático misto, ou seja, o termo que acompanha o fator x y . Assim, encontramos uma cônica do tipo g ' x , y = a ' x 2 + c ' y 2 + d ' x + e ' y + f ' .

Da teoria, sabemos que o valor de θ pode ser calculado como

cot ⁡ 2 θ = a - c b

onde 2 θ está limitado no intervalo 0 ,   π .

  • Os valores de a ' e c ' são calculados a partir do sistema:

    • a ' + c ' = a + c a ' - c ' = b sin ⁡ 2 θ

  • Os valores de d e e são calculados a partir das expressões:

    • d ' = d cos ⁡ θ + e sin ⁡ θ

    e ' = - d sin ⁡ θ + e cos ⁡ θ

    note que se d = e = 0 , então d ' = e ' = 0 .

  • O valor do termo independente não muda com a rotação. Ou seja,

f ' = f

Passo 2

  1. Temos que a = 13 ,   b = 6 ,   c = 21 ,   d = e = f = 0 .

    2. Começamos calculando o valor de θ :

    cot ⁡ 2 θ = a - c b = 13 - 21 6 = - 4 3

    Assim, assumindo 2 θ entre 0 , π , temos que

    sin ⁡ 2 θ = 1 1 + cot 2 ⁡ 2 θ = 1 1 + 16 9 = 3 5

    Ficamos com o sistema:

    a ' + c ' = a + c a ' - c ' = b sin ⁡ 2 θ ⟺ a ' + c ' = 34 a ' - c ' = 6 3 / 5 ⟺ a ' + c ' = 34 a ' - c ' = 10 ⟺ a ' = 22 c ' = 12

    Como d = e = 0 ⟹ d ' = e ' = 0 . Também, como f = 0 ⟹ f ' = 0 .

    ∴ g x , y = 22 x 2 + 12 y 2

    é a nova equação da cônica.

    Passo 3

  2. Temos que a = 4 ,   b = - 4 ,   c = 1 ,   d = - 8 5 ,   e = - 16 5 ,   f = 0 .

Começamos calcular θ ∈ 0 ,   2 π :

cot ⁡ 2 θ = a - c b = 4 - 1 - 4 = - 3 4

Podemos calcular o valor de sin ⁡ 2 θ :

sin ⁡ 2 θ = 1 1 + cot 2 ⁡ 2 θ = 1 1 + 9 / 16 = 4 5

Logo, temos o sistema:

a ' + c ' = a + c a ' - c ' = b sin ⁡ 2 θ ⟺ a ' + c ' = 5 a ' - c ' = - 4 4 / 5 ⟺ a ' + c ' = 5 a ' - c ' = - 5

donde tiramos que a ' = 0 e c ' = 5 .

Passo 3

Vamos calcular d ' e e ' . Para tal, precisamos calcular o valor de cos ⁡ θ e sin ⁡ θ . Repare que, como 2 θ ∈ 0 ,   π ⟹ θ ∈ 0 , π 2 de modo que cos ⁡ θ e sin ⁡ θ são positivos! Veja o seguinte artifício para calcularmos cos ⁡ 2 θ :

cos ⁡ 2 θ = cos ⁡ 2 θ sin ⁡ 2 θ ⋅ sin ⁡ 2 θ = cot ⁡ 2 θ ⋅ sin ⁡ 2 θ ∴ cos ⁡ 2 θ = - 3 4 4 5 = - 3 5 ⟹ cos ⁡ 2 θ = - 3 5

Lembre-se da identidade cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ . Assim, ficamos com o sistema:

cos 2 ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ = - 3 5 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1

onde a última equação é justamente a relação fundamental da trigonometria. Ao somar as duas equações, temos

2 cos 2 ⁡ θ = - 3 5 + 1 = 2 5 ⟹ cos 2 ⁡ θ = 1 5 ∴ cos ⁡ θ = 1 5

sin 2 ⁡ θ = 1 - cos 2 ⁡ θ = 1 - 1 5 = 4 5 ∴ sin ⁡ θ = 2 5

Agora já podemos calcular d ' e e ' !!

d ' = d cos ⁡ θ + e sin ⁡   θ = - 8 5 ⋅ 1 5 + - 16 5 ⋅ 2 5 = - 8 - 32 = - 40 ∴ d ' = - 40

e ' = - d sin ⁡ θ + e cos ⁡ θ = - - 8 5 2 5 + - 16 5 1 5 = 16 - 16 = 0

O valor do termo independente não é alterado, ou seja,

f ' = f = 0

Portanto, a nova equação é:

g x , y = 0 x 2 + 0 x y + 5 y 2 - 40 x + 0 y + 0

∴ g x , y = 5 y 2 - 40 x

Resposta

  1. g x , y = 22 x 2 + 12 y 2 .
  2. g x , y = 5 y 2 - 40 x .
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