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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 11.6 - Ex. 4

Identifique a figura e ache sua posição, se sua equação é:

x 2 + x y + y 2 - 3 = 0

Passo 1

Nessa equação, nós só temos termos em x e em y , então a figura vai ser uma cônica! O que a gente tem que fazer aqui é usar o teorema 11.4 . 7 para analisar qual tipo de figura que é. Bora então. Primeiro a gente identifica os coeficientes:

x 2 + x y + y 2 - 3 = 0

A = 1 ,   B = 1 ,   C = 1 ,   D = 0 ,   E = 0 ,   F = - 3

Calculando o discriminante:

B 2 - 4 A C = 1 2 - 4 1 1 = - 3

Como o discriminante deu zero, a equação representa uma elipse!

Passo 2

Agora vamos fazer o processo que ele ensinou pra gente pra determinarmos a posição. Pra isso vamos escrever a equação na forma matricial:

x y 1 1 2 1 2 1 x y + 0 0 x y = 0

Precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz que acompanha os termos de segundo grau! Pra isso vamos na definição:

M = 1 1 2 1 2 1

det ⁡ M - λ I = 1 - λ 1 2 1 2 1 - λ = 1 - λ 1 - λ - 1 4

det ⁡ M - λ I = λ 2 - 2 λ + 3 4

Resolvendo essa equação, vamos encontrar λ = 1 2   ou λ = 3 2 . Vamos substituir pra encontrar os autovetores!

λ = 1 2 :   1 - 1 2 1 2 1 2 1 - 1 2 x y = 0 0 → x 2 + y 2 = 0 → y = - x

Então o vetor ( 1 , - 1 ) é autovetor associado a λ = 1 2 , e, dividindo pelo seu módulo para ortonormalizar, vamos obter v 1 = 1 2 ,   - 1 2 .

λ = 3 2 :   1 - 3 2 1 2 1 2 1 - 3 2 x y = - 1 2 1 2 1 2 - 1 2 x y = 0 0 →

- x 2 + y 2 = 0 → y = x

Então o vetor ( 1 ,   1 ) é autovetor associado a λ = 3 2 , e, dividindo pelo seu módulo para ortonormalizar, vamos obter v 2 = 1 2 , 1 2 .  

Passo 3

O próximo passo é substituir na equação matricial!

x ' y ' 1 2 0 0 3 2 x ' y ' + 0 0 1 2 1 2 - 1 2   1 2 x ' y ' - 3 = 0

Desenvolvendo:

x ' 2 + 3 y ' 2 - 3 = 0

Essa equação representa a cônica em relação ao nosso novo referencial ( x ' ,   y ' ) . Arrumando:

x ' 2 3 + y ' 2 = 1

Essa elipse tinha centro ( 0 ,   0 ) e seus eixos na direção de 1 2 , 1 2 e - 1 2 , 1 2 .

Resposta

Elipse de equação:

x ' 2 3 + y ' 2 = 1

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