Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 11.6 - Ex. 8

Identifique a figura e ache sua posição, se sua equação é:

y 2 + 2 z 2 + 2 3 y z = 0

Passo 1

Aqui a gente tá com x , y e z , todos juntos e misturados, então estamos diante de uma quádrica! A primeira coisa que temos que fazer é escrever essa equação na forma matricial.

y 2 + 2 z 2 + 2 3 y z = 0

x y z 0 0 0 0 1 3 0 3 2 x y z = 0

Passo 2

A próxima missão é calcular os autovalores e autovetores da matriz!

M = 0 0 0 0 1 3 0 3 2

det ⁡ M - λ I = - λ 0 0   0 1 - λ 3 0 3 2 - λ = - λ 1 - λ 2 - λ + 3 λ

det ⁡ M - λ I = - λ 3 + 3 λ 2 + λ

Essa aí tem uma raiz bem de cara, que é o λ = 0 . Vai ser mais fácil de encontrar as raízes!

- λ 3 + 3 λ 2 + λ = 0

λ - λ 2 + 3 λ + 1 = 0

Resolvendo o segundo grau, vamos achar as outras duas raízes!

λ = 3 ± 13 2

Vamos substituir esses valores pra encontrar os autovetores.

λ = 0 :   0 0 0 0 1 3 0 3 2 x y z = 0 0 0 → y + 3 z = 0 3 y + 2 z = 0

Daqui, vamos encontrar y = z = 0 , e o x nem apareceu, então ele fica livre! Por isso, o autovetor é:

v = ( 1 ,   0 ,   0 )

λ = 3 + 13 2 :   - 3 + 13 2 0 0 0 1 - 3 + 13 2 3 0 3 2 - 3 + 13 2 x y z = 0 0 0

- 3 + 13 2 x = 0 - 1 - 13 2 y + 3 z = 0 3 y + 1 - 13 2 z = 0

Resolvendo essa equação, vamos encontrar:

v = ( 0 , 13 - 1 2 3 ,   1 )

λ = 3 - 13 2 :   - 3 - 13 2 0 0 0 1 - 3 - 13 2 3 0 3 2 - 3 - 13 2 x y z = 0 0 0

- 3 - 13 2 x = 0 - 1 + 13 2 y + 3 z = 0 3 y + 1 + 13 2 z = 0

Resolvendo essa equação, vamos encontrar:

v = ( 0 , - 13 + 1 2 3 ,   1 )

Passo 3

Trocando a equação matricial pelo novo referencial, usando a matriz dos autovalores. Tanto faz a ordem que escolhermos! Isso só vai mudar em qual eixo vão estar as coisas, mas como só queremos caracterizar a quádrica, não faz mal.

x ' y ' z ' 0 0 0 0 3 + 13 2 0 0 0 3 - 13 2 x ' y ' z ' = 0

3 + 13 2 y ' 2 + 3 - 13 2 z ' 2 = 0

Essa equação representa a quádrica em relação ao nosso novo referencial ( x ' ,   y ' , z ' ) . Ela é na verdade a união de dois planos, que tinha como centro o ponto 0,0 ,   0 , e eixos na direção de 0 ,   0 ,   0 , 0 , 3 + 13 2 ,   0 e 0 ,   0 ,   3 - 13 2 .

Resposta

Dois planos:

3 + 13 2 y ' 2 + 3 - 13 2 z ' 2 = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Efetuar uma rotação e uma translação de eixos para referir a quádrica ao sistema O ' X Y Z e identifica-la. 2 x 2 + 2 y 2 + 5 z 2 - 4 x y - 2 x z + 2 y z - 10 x - 6 y - 2 z - 7 = 0
Efetuar uma rotação e uma translação de eixos para referir a quádrica ao sistema O ' X Y Z e identifica-la. y 2 - 4 x z - 4 x + 2 y - 3 = 0
Efetuar uma rotação e uma translação de eixos para referir a quádrica ao sistema O ' X Y Z e identifica-la. 7 x 2 + 6 y 2 + 5 z 2 - 4 x y - 4 y z - 18 = 0
Por uma conveniente translação de eixos, transformar cada uma das equações seguintes na forma reduzida e identificar a quádrica que ela representa. x 2 + 4 y 2 - z 2 - 2 x + 16 y + 17 = 0
Efetuar uma rotação e uma translação de eixos para referir a quádrica ao sistema O ' X Y Z e identifica-la. 3 x 2 + 5 y 2 + 3 z 2 - 2 x y + 2 x z - 2 y z - 4 x + 6 y - 2 z + 2 = 0