Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 11.6 - Ex. 6

Identifique a figura e ache sua posição, se sua equação é:

Passo 1

Nessa equação, nós só temos termos em e em , então a figura vai ser uma cônica! O que a gente tem que fazer aqui é usar o teorema para analisar qual tipo de figura que é. Bora então. Primeiro a gente identifica os coeficientes:

Calculando o discriminante:

Como o discriminante deu positivo, a equação representa uma hipérbole!

Passo 2

Agora vamos fazer o processo que ele ensinou pra gente pra determinarmos a posição. Pra isso vamos escrever a equação na forma matricial:

Precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz que acompanha os termos de segundo grau! Pra isso vamos na definição:

Resolvendo essa equação, vamos encontrar ou . Vamos substituir pra encontrar os autovetores!

Então o vetor é autovetor associado a , e, dividindo pelo seu módulo para ortonormalizar, vamos obter .

Passo 3

O próximo passo é substituir na equação matricial!

Desenvolvendo:

E completando os quadrados:

Essa equação representa a cônica em relação ao nosso novo referencial , que tinha como centro o ponto , e eixos na direção de e .

Resposta

Hipérbole de equação:

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