Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 25.Exercício - Ex. 38a
Identifique a quádrica descrita pela equação dada.
(a)
Passo 1
Bom, vamos dar uma olhada nessa equação:
O nosso problema aqui é encontrar a equação reduzida.
Logo de cara aparece um problema: aparecem multiplicando um ao outro! Precisamos dar um jeito nisso.
A melhor forma de resolver esse tipo de problema é aplicando uma mudança de coordenadas.
Quando queremos nos livrar de termos do tipo , é melhor usar uma rotação de coordenadas.
Passo 2
Como o nosso problema só está nas variáveis e , vamos fazer uma rotação no plano , ou seja, em torno do eixo :
E vamos lembrar da matriz de rotação, que é uma forma fácil de lembrar como fica essa rotação.
No nosso caso, e são o resultado de uma rotação de e por um ângulo no sentido anti-horário:
Essa matriz faz justamente isso: rotacionar as coordenadas por um ângulo no sentido anti-horário.
Multiplicando aquelas matrizes, encontramos o seguinte:
Beleza, agora vamos substituir essas expressões de e na equação lá de cima:
Passo 3
Voltando na nossa equação:
Para simplificar, vamos começar olhando só para esses dois primeiros termos:
E vamos substituir com as expressões ali de cima:
E o termo misturando que causou problemas é:
Isso tudo também ia ficar muito confuso se a gente somar as três expressões. Então primeiro vamos ver quais termos sobram com o produto .
Nessas simplificações aí de cima, nós usamos essas identidades aqui:
Como a nossa expressão era:
Então, substituindo, esse termo aqui vai aparecer:
E como a nossa ideia é sumir com esse termo que envolve o produto , queremos que:
E a gente sabe que a solução mais simples pra isso é que o ângulo seja de , porque esse ângulo tem senos e cossenos iguais!
Beleza, então essa é a substituição que a gente tem que fazer.
Passo 4
Nesse caso aquele trecho da equação referente a fica:
Simplificando, a gente viu que os termos que tem vão sumir, então:
Agora vamos somar:
E usando a mesma identidade de antes:
E como:
E o cosseno e seno são:
Beleza, já melhorou bastante.
Passo 5
Agora vamos voltar na equação original:
A gente já viu que os três primeiros termos viram:
Vamos juntar com o resto:
E substituindo as fórmulas de antes:
Tá, pode parecer que está complicando de novo, mas olha só:
Lembrando que já definimos , então nem precisamos ir muito longe! Já dá pra identificar qual é a equação.
Já sabemos que ele é uma quádrica cilíndrica, porque temos só duas variáveis e .
Como as duas variáveis estão elevadas ao quadrado, ela não pode ser parabólica, que é desse tipo aqui:
E também não pode ser elíptica, porque nesse caso as duas variáveis teriam sinais iguais:
Então ela tem que ser uma quádrica hiperbólica:
Porque as duas variáveis tem sinais trocados! Assim como na nossa equação, em que aparece .
Passo 6
Tá, mais e essa confusão toda aí do lado?
Como , todos esses termos em parênteses multiplicando e são números, ou seja, constantes!
Isso quer dizer que a gente poderia simplesmente completar os quadrados e arrumar um pouco para encontrar uma equação como essa aqui:
Que dá uma quádrica cilíndrica hiperbólica!
Resposta
A equação é uma quádrica cilíndrica hiperbólica.