Identifique a quádrica descrita pela equação dada.

(a)

Como o nosso problema só está nas variáveis e , vamos fazer uma rotação no plano , ou seja, em torno do eixo :

E vamos lembrar da matriz de rotação, que é uma forma fácil de lembrar como fica essa rotação.

No nosso caso, e são o resultado de uma rotação de e por um ângulo no sentido anti-horário:

Essa matriz faz justamente isso: rotacionar as coordenadas por um ângulo no sentido anti-horário.

Multiplicando aquelas matrizes, encontramos o seguinte:

Beleza, agora vamos substituir essas expressões de e na equação lá de cima:

Voltando na nossa equação:

Para simplificar, vamos começar olhando só para esses dois primeiros termos:

E vamos substituir com as expressões ali de cima:

E o termo misturando que causou problemas é:

Isso tudo também ia ficar muito confuso se a gente somar as três expressões. Então primeiro vamos ver quais termos sobram com o produto .

Nessas simplificações aí de cima, nós usamos essas identidades aqui:

Como a nossa expressão era:

Então, substituindo, esse termo aqui vai aparecer:

E como a nossa ideia é sumir com esse termo que envolve o produto , queremos que:

E a gente sabe que a solução mais simples pra isso é que o ângulo seja de , porque esse ângulo tem senos e cossenos iguais!

Beleza, então essa é a substituição que a gente tem que fazer.

Nesse caso aquele trecho da equação referente a fica:

Simplificando, a gente viu que os termos que tem vão sumir, então:

Agora vamos somar:

E usando a mesma identidade de antes:

E como:

E o cosseno e seno são:

Beleza, já melhorou bastante.

Agora vamos voltar na equação original:

A gente já viu que os três primeiros termos viram:

Vamos juntar com o resto:

E substituindo as fórmulas de antes:

Tá, pode parecer que está complicando de novo, mas olha só:

Lembrando que já definimos , então nem precisamos ir muito longe! Já dá pra identificar qual é a equação.

Já sabemos que ele é uma quádrica cilíndrica, porque temos só duas variáveis e .

Como as duas variáveis estão elevadas ao quadrado, ela não pode ser parabólica, que é desse tipo aqui:

E também não pode ser elíptica, porque nesse caso as duas variáveis teriam sinais iguais:

Então ela tem que ser uma quádrica hiperbólica:

Porque as duas variáveis tem sinais trocados! Assim como na nossa equação, em que aparece .

Tá, mais e essa confusão toda aí do lado?

Como , todos esses termos em parênteses multiplicando e são números, ou seja, constantes!

Isso quer dizer que a gente poderia simplesmente completar os quadrados e arrumar um pouco para encontrar uma equação como essa aqui:

Que dá uma quádrica cilíndrica hiperbólica!