Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 19.Exercício - Ex. 23b
Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta e forma ângulo de radianos com .
(a)
Passo 1
Antes de mais nada, vamos encontrar a equação daquela reta .
Para isso, primeiro temos que encontrar o vetor diretor:
E então, para montar a equação vetorial da reta, é só usar um dos pontos ou :
Beleza, já temos a equação da reta .
Passo 2
O nosso objetivo é encontrar um plano que, pra começo de conversa, contenha a reta . Se esse plano tiver essa equação geral aqui:
Então o vetor normal a ele é:
E como ele contém o ponto , temos que:
Ou seja, a equação é:
Além disso, como o plano contém a reta , o vetor normal ao plano também tem que ser normal à reta .
Isso quer dizer que o produto escalar de e é:
Beleza, já sabemos mais ou menos qual é a “cara” do nosso plano.
Passo 3
A segunda condição para definir o nosso plano é que ele forme um ângulo com a reta .
Como é a equação para calcular esse ângulo?
Onde é o vetor diretor da reta , que já foi dado no enunciado:
Ou seja:
Então:
E as normas são:
Então a nossa fórmula é:
E dá pra calcular esse seno pelo cosseno que foi dado no enunciado! É só lembrar dessa fórmula aqui:
O mais correto seria colocar , mas como o ângulo entre reta e plano está sempre entre e , podemos deixar só a solução .
Passo 4
Então, voltando na equação de antes:
Substituindo com a expressão para o :
Juntando com a outra, ficamos com duas equações:
É um sistema de duas equações e três variáveis. Para resolver esse problema, a gente pode definir um valor arbitrário:
Por que podemos fazer isso? Bom, , e são só as coordenadas do vetor normal ao plano. Fixando a gente só está fixando o sinal e a largura desse vetor, mas isso não faz diferença na definição do plano!
Só o que importa é a direção do vetor normal, e isso não é fixado quando escolhemos um valor qualquer para .
Então, se , então:
E o fica livre. Substituindo isso na equação:
Passo 5
Agora temos que resolver essa equação para encontrar :
Elevando os dois lados ao quadrado:
Dividindo tudo por :
Agora é só resolver essa equação do segundo grau:
Então as duas soluções são:
Passo 6
Finalmente vamos voltar lá na equação do plano:
As nossas soluções são:
Ou seja, o primeiro plano que responde à pergunta do enunciado é:
E o segundo é:
Multiplicando tudo por :
Pronto, encontramos as duas soluções possíveis.
Resposta
Os dois planos são e .