Enunciado

Imponha condições sobre a e b para que exista um quadrado de lados paralelos aos eixos coordenados com vértices na hipérbole H : x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1 , e calcule sua área.

Passo 1

Temos o seguinte esquema, onde 2 l é o lado do quadrado:

Sejam A = l ,   l ,   B = - l ,   l ,   C = - l ,   - l e D = l ,   - l os vértices do quadrado. Substituindo as coordenadas de quaisquer um dos vértices na equação da elipse, temos:

l 2 a 2 - l 2 b 2 = 1 ∴ l 2 b 2 - a 2 a 2 b 2 = 1 ∴ l = a b b 2 - a 2

Passo 2

Notemos que a condição para que o quadrado existe é b > a , pois caso contrário teremos um número negativo dentro da raiz.

Passo 3

A área do quadrado será:

A = 2 l 2 = 4 l 2 ⟹ A = 4 a 2 b 2 b 2 - a 2

Resposta

A condição é que b > a . A área é A = 4 a 2 b 2 b 2 - a 2

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