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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 1.2 - Ex. 7

Uma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. Para a manufatura de cada kg de X são utilizados 2 gramas do insumo A e 1 grama do insumo B; para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 3 gramas de insumo B e, para cada kg de Z, 3 gramas de A e 5 gramas de B. O preço de

venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z e R$ 3,00, R$ 2,00 e R$ 4,00, respectivamente. Com a venda de toda a produção de X, Y e Z manufaturada com 1,9 kg de A e 2,4 kg de B, essa indústria arrecadou R$ 2900,00. Determine quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos.

Passo 1

Fala aeeeee, tudo blz? :D

Vamos transformar os dados do enunciado em um sistema linear :

A = a X

A =   1900 2400 2900 ; g r a m a s   d e   A ,   g r a m a s   d e   B   e   a r r e c a d a ç ã o

a =   2 1 3 1 3 5 3 2 4 ; g r a m a s   d e A k g ,   g r a m a s   d e B k g , p r e ç o k g

X =   x y z ; k g   d e   X ,   k g   d e   Y ,   k g   d e   Z

Portanto:

A = a X

2 1 3 1 3 5 3 2 4 x y z = 1900 2400 2900

Passo 2

Agora, vamos escalonar a matriz solução S :

Eliminação 1:

L 2 → L 1

L 1 → L 2

S :   1 3 5 2400 2 1 3 1900 3 2 4 2900

- 2 L 1 + L 2 → L 2

- 3 L 1 + L 3 → L 3

S :   1 3 5 2400 0 - 5 - 7 - 2 900 0 - 7 - 11 - 4300

Passo 3

Eliminação 2:

- 1 5 L 2 → L 2

S :   1 3 5 2400 0 1 7 / 5 580 0 - 7 - 11 - 4300

- 3 L 2 + L 1 → L 1

7 L 2 + L 3 → L 3

S :   1 0 4 5 660 0 1 7 / 5 580 0 0 - 6 5 - 240

Passo 4

Eliminação 3:

- 5 6 L 3 → L 3

S :   1 0 4 5 660 0 1 7 / 5 580 0 0 1 2 0 0

- 4 5 L 3 + L 1 → L 1

- 7 5 L 3 + L 2 → L 2

S :   1 0 0 50 0 0 1 0 30 0 0 0 1 200

Portanto, foram vendidos 500 kg do produto X, 300kg do produto Y e 200kg do produto Z.

Resposta

V e n d a s k g : X = 500 Y = 300 Z = 200

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