Os lados do triângulo equilátero A B C têm medida 2. Calcule   A B → ⋅ B C → + B C → ⋅ C A → + C A → ⋅ A B → .

Passo 1

O primeiro passo é identificar o ângulo entre os vetores:

Em todos os casos, o ângulo entre os vetores é θ = 120 ° . Além disso, temos que A B → = B C → = C A → = 2 .

Passo 2

Assim, usando a fórmula do produto escalar:

A B → ⋅ B C → + B C → ⋅ C A → + C A → ⋅ A B → = 2 ⋅ 2 ⋅ cos ⁡ 120 ° + 2 ⋅ 2 ⋅ cos ⁡ 120 ° + 2 ⋅ 2 ⋅ cos ⁡ 120 °

Portanto,

A B → ⋅ B C → + B C → ⋅ C A → + C A → ⋅ A B → = 4 ⋅ - 1 2 + 4 ⋅ - 1 2 + 4 ⋅ - 1 2

Logo,

A B → ⋅ B C → + B C → ⋅ C A → + C A → ⋅ A B → = - 6

Resposta

A B → ⋅ B C → + B C → ⋅ C A → + C A → ⋅ A B → = - 6

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