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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 3.Exercícios Propostos - Ex. 19

Os vetores a → e b → formam um ângulo de 60 ° , | a | →   = 1 e | b | →   = 2 . Sabe-se que u →   = a →     +   3 b → e v →   = 2 a →     -   b → . Pedem-se: | u | →   , | v | →   e o ângulo formado por u →   e v →   . Desenhe os vetores a → , b → , u →   e v →   .

Passo 1

Fala, galerinha! Precisamos construir essa questão passo a passo. Mas, basicamente, precisamos saber que o ângulo entre dois vetores é dado por: c o s   α   =   u →   ⋅ v → | u → | | v → | .

Então, vamos para as primeiras informações. Para a → e b → formando um ângulo de 60 ° , temos:

a →   ⋅ b →   = | a → | | b → | .   c o s   60 °   =   1 ⋅ 2 ⋅ 1 2   ⇒ a →   ⋅ b →   =   1

Guardaremos essa informação para mais tarde. Agora, vamos analisar o produto escalar entre u → e v →   , sendo u →   = a →     +   3 b → e v →   = 2 a →     -   b → , temos que:

u → ⋅ v →     = ( a →     +   3 b → ) ⋅ ( 2 a →     -   b → )   =   2 a →   ⋅ a   → +   6 a →   ⋅ b →   - a →   ⋅ b →     - 3 b →   ⋅ b →    

⇒ u → ⋅ v →     = 2 | a → | 2     +   5 a →   ⋅ b   →   - 3 | b → | 2   ,

onde utilizamos o fato de que x →   ⋅ y →   =   y →   ⋅ x → e que x →   ⋅ x →   =   | x → | 2 .

Substituindo os valores de | a → , | b → | e a →   ⋅ b →   na equação acima, vem que:

u → ⋅ v →     = 2 ( 1 ) 2       +   5 ⋅ ( 1 )   - 3 ⋅ ( 2 ) 2   =   2   +   5   - 12   =   - 5 .

Passo 2

Vamos continuar, ainda não acabou. Já sabemos que precisamos encontrar os valores e substituir na seguinte equação: u →   ⋅ v →   = | u → | | v → | .   c o s   α . No passo anterior, encontramos que: u → ⋅ v →     = - 5 , a →   ⋅ b →   = 1 . Agora, basta encontrarmos os valores de | u → | e | v → | .

Para | u → | :

| u → |   =   u → ⋅ u →   =   ( a →     +   3 b → ) ⋅ ( a →     +   3 b → )   =   a → ⋅ a →     +   3 a → ⋅ b →     +   3 a → ⋅ b →     +   9 b → ⋅ b →  

| u → |   =   | a → | 2     +   6 a → ⋅ b →     +   9 | b | → 2     = 1 2   +   6 ⋅ 1   +   9 ( 2 ) 2   = 7   +   36   = 43      

| u → |   =   43 ,

onde substituímos os valores | a | →   = 1 , | b | →   = 2 e a →   ⋅ b →   = 1 .

Para | v → | :

| v → |   =   v → ⋅ v →   =   ( 2 a →     -   b → ) ⋅ ( 2 a →     -   b → )   =   4 a → ⋅ a →     - 2 a → ⋅ b →     -   2 a → ⋅ b →     +   b → ⋅ b →  

| v → |   =   4 | a → | 2   - 4 a → ⋅ b →     +   | b | → 2     = 4 ⋅ 1 2   -   4 ⋅ 1   + ( 2 ) 2   = 0 + 4   = 2    

| v → |   =   2 .

Por fim, basta descobrir qual o ângulo entre u → e v →   . Daí,

u →   ⋅ v →   = | u → | | v → | .   c o s   α   ⇒ c o s   α   =   u →   ⋅ v →   | u → | | v → |   =   - 5 43 ⋅ 2 ⋅ 43 43   = - 5 43 2 ⋅ 43   =   - 5 43 86    

c o s   α   =     - 5 43 86

Passo 3

Os vetores a → , b → , u →   e v →   foram desenhados na figura abaixo.

Resposta

| u → |   =   43 ;

| v → |   =   2 ;

c o s   α   =     - 5 43 86

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Dado os vetores u → = i → - j → e v → = 2 i → + j → , determinar o modulo e o ângulo que os seguintes vetores formam com o vetor i → e) v → - u →
Obter os dois vetores unitários ortogonais a cada um dos vetores:a) 4 i → + 3 j →
Para cada um dos pares de vetores u → e v → , encontrar o vetor projeção ortogonal de v → sobre u → e decompor v → como soma de v 1 → com v 2 → , sendo v 1 → | | u → e v 2 → ⊥ u → b) u → = ( 1,1 ) ev