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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 2.Exercícios Propostos - Ex. 18

Tem-se: a →   = ( 1 , - 1,2 ) , b →   =   ( 1,1 , 0 ) e c →   =   ( 1,1 , - 1 ) e d →   =   ( 1,0 , - 1 ) . O vetor x → é coplanar com a → e b → e x   → + d →     / /   c → .

  1. Determine as coordenadas de x → .
  2. Escreva x → como combinação linear de a → e b → .

Passo 1

  1. Fala, galerinha! Antes de começar, vamos relembrar que x → é coplanar com a → e b → e x   → + d →     / /   c → . A primeira afirmação quer dizer que x → , a → e b → são L.D. então x → = ( u , v , w ) , o determinante da matriz contendo esses três vetores deve ser nulo

    2. Assim,

    w + v - u = 0 ⇒ u = v + w ⇒ x → = ( v + w , v , w )

    Para conseguir determinar v , w vamos utilizar a segunda informação do enunciado: x   → + d →     / /   c → . Isso quer dizer que x   → + d →     e   c → são L.D., ou seja,

    x   → + d →       = α c → ⇒ ( v + w , v , w ) +   ( 1,0 , - 1 ) =   ( v + w + 1 , v , w - 1 ) = α   ( 1,1 , - 1 ) =   ( α , α , - α )

    Igualando as entradas dos vetores, obtemos o seguinte sistema de equações:

    v + w + 1 = α ⇒ w = α - 1 - v

    v = α ⇒ w = α - 1 - α = - 1

    w - 1 = - α ⇒ w = 1 - α = - 1 ⇒ α = 2

    Agora, substituímos α = 2 para obter v = 2 . Voltando ao nosso vetor x → = ( v + w , v , w ) , obtemos

    x → = ( - 1 + 2,2 , - 1 ) = ( 1,2 , - 1 )

    Passo 2

  2. Agora temos que escrever x → como combinação linear de a → e b → . Para conseguir fazer isso, temos que fazer

x → =   λ a →   + β   b →

comparamos os dois lados e descobrimos o valor de λ e β . Preparados? Então vamos lá!

x → =   λ a →   + β   b → ⇒ ( 1,2 , - 1 ) = λ ( 1 , - 1,2 ) + β   ( 1,1 , 0 ) = ( λ + β , - λ + β , 2 λ )

Assim, temos o seguinte sistema de equações:

λ + β = 1

- λ + β = - 2

2 λ = - 1 ⇒ λ = - 1 2

Substituindo λ = - 1 2 na primeira equação, obtemos

λ + β = 1 ⇒ β = 1 - λ = 1 - ( - 1 2 ) = 3 2

Logo,

x → =   λ a →   + β   b → = - 1 2 a →   + 3 2   b →

Resposta

  1. x → = ( 1,2 , - 1 )

  2. x → = - 1 2 a →   + 3 2   b →

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