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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.Exercícios Suplementares - Ex. 9c

Seja a a 0 0 a a b 4 2 2 4 b a matriz de um sistema linear. Encontre os valores de a e b com os quais o sistema tem uma solução a dois parâmetros.

Passo 1

Nesse problema, vamos trabalhar valores atribuídos à parâmetros para que satisfaçam uma condição.

Primeiramente, vamos escalonar a matriz dada:

a a 0 0 a a b 4 2 2 4 b     → L 2 → L 2 - L 1       a 0 0 0 a a b 4 - b 2 2 2 b

a 0 0 0 a a b 4 - b 2 2 2 b     → L 1 → 1 a L 1       1 0 0 0 a a b / a 4 - b 2 2 / a 2 b

1 0 0 0 a a b / a 4 - b 2 2 / a 2 b     → L 3 → L 3 - L 2   1 0 0 0 a 0 b / a 4 - b b - 2 2 / a 2 b - 2

1 0 0 0 a 0 b / a 4 - b b - 2 2 / a 2 b - 2     → L 2 → 1 a L 2       1 0 0 0 1 0 b / a ( 4 - b ) / a b - 2 2 / a 2 / a b - 2

1 0 0 0 1 0 b / a ( 4 - b ) / a b - 2 2 / a 2 / a b - 2     → L 3 → 1 b - 2 L 3       1 0 0 0 1 0 b / a ( 4 - b ) / a 1 2 / a 2 / a 1

Passo 2

Para que o sistema linear representado pela matriz a a 0 0 a a b 4 2 2 4 b tnha uma solução em dois parâmetros, podemos aplicar as restrições que encontramos quando analisamos a matriz escalonada

1 0 0 0 1 0 b / a ( 4 - b ) / a 1 2 / a 2 / a 1

  • Primeiramente, a restrição a ≠ 0 ao vermos que a é denominador na primeira e segunda linha.

  • Quando analisamos a operação L 3 → 1 b - 2 L 3 durante o escalonamento, vemos a segunda restrição tal que b - 2 ≠ 0 . Portanto, b ≠ 2 .

Passo 3

Para termos a solução em dois parâmetros, vamos tomar as restrições de a e b como valores. Portanto:

a = 0 e b = 2

Resposta

Portanto, a = 0 e b = 2

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