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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 23.Problemas - Ex. 11

Uma transformação linear T   :   R ²   →   R ² de posto 2 transforma toda reta numa reta. Prove isto.

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente começaremos alertando que esse exercício pode ser feito de várias formas diferentes, beleza!

Para ficar mais fácil vamos utilizar o mapa linear provando que R n → R n

Qualquer linha r ⊂ R n tem representações paramétricas da forma

r   : t   ↦   a   +   t p             (   -   ∞   <   t   <   ∞   )

Com p   ≠   0 .

Se T : R n → R n é um mapa linear, então a imagem de r   terá a representação

T   r   : t   ↦   T   a   +   t p   =   T   a   + t T p             (   -   ∞   <   t   <   ∞   )   ,  

Que é novamente uma linha se T p   ≠   0 , e é o único ponto b   :   =   T sendo T p   =   0 .

Se você quiser que todas as linhas sejam mapeadas em linhas novamente, você deve ter certeza de que p   ≠   0 garantias T p   ≠   0 .

Este último é o caso ser a k e l   ( T )   =   n . Se a classificação de   T é <   n então k e l     ( T )   ≠   0 , portanto, existem vetores p   ≠   0 com   T p   =   0 . Linhas paralelas a talpserá então mapeado para pontos.

Logo:

k e l   ( T )   =   n

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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