Para matrizes quadradas, A = ( a i j ) n x n definimos o traço de A como sendo a soma dos elementos da diagonal (principal) de A, ou seja, tr(A) = ∑ i = 1 n a i i .

c) Mostre que tr( A t ) = tr(A)

Passo 1

Dada uma matriz A quadrada:

A =   a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n

tr(A) = a 11 + a 22 + a 33 + … + a n n

Passo 2

A transposta de A pode ser escrita como:

A t = a 11 a 21 a 12 a 22 ⋯ ⋯ a n 1 a n 2     ⋮   ⋯ ⋮ a 1 n a 2 n ⋯ a n n   .

Logo:

tr( A t ) = a 11 + a 22 + a 33 + … + a n n

Passo 3

Nota-se que, ao transpor a matriz quadrada A, sua diagonal principal permaneceu a mesma. Dessa forma: tr( A t ) = tr(A)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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