Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.3 - Ex. 21
Mostre que todo subespaço de é o espaço solução de um sistema linear homogêneo. (Sugestão: seja uma base tome .)
Passo 1
Oiii, como vai? Tudo certinho?
A primeira coisa que precisamos aqui é relembrar o que significa ser solução de um espaço homogêneo! Significa que, vetores , são soluções para um equação do tipo:
em que é uma matriz arbitrária. Vamos tentar usar a sugestão do enunciado, beleza?
Passo 2
Se tivermos que é uma base de , ou seja, uma base do espaço ortogonal a , que nos garante que qualquer vetor que pertença a é ortogonal a qualquer vetor que pertença a , de acordo com a seguinte definição de ortogonalidade:
em que e . Agora, ainda na sugestão do enunciado, vamos tomar um matriz com o seguinte formato:
Ou seja, uma matriz em que as linhas são formadas pelos vetores que são base do espaço ortogonal . O que isso pode nos dizer?
Passo 3
Se temos um vetor qualquer , utilizando a matriz estabelecida, temos:
Como , temos que o produto matricial acima é análogo à um produto escalar entre vetores ortogonais. Se lembrar do método de multiplicação de matrizes, se temos uma matriz quadrada multiplica a uma matriz , vamos obter uma matriz (um vetor), em que as componentes são obtidas multiplicando elemento a elemento da linha da primeira matriz, com a única coluna do vetor (primeiro vezes primeiro, segundo vezes segundo, e assim por diante) até que se forme um vetor em que o elemento é formado pelo produto da primeira linha com a única coluna, e o elemento é o produto da k-ésima linha com a única coluna, da mesma maneira para todos os valores intermediários. Tá bom, mas e daí?
Passo 4
A vantagem disso é que cada vez que multiplico uma linha pela coluna, eu tenho o seguinte produto escalar:
Ou seja, o subespaço é solução de um sistema linear homogêneo. A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!
Resposta
Ao longo dos passos.